Área

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O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área 9 4 π {\displaystyle {\frac {9}{4}}\pi }

{\frac {9}{4}}\pi

e o triângulo tem área 9 2 . {\displaystyle {\frac {9}{2}}.}

{\frac {9}{2}}.

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos. São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.

Unidades

Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 Pé = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

Outras unidades

Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:

1 are = 100 metros quadrados.

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:

1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:

1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

História

Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.

Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos C = 2 π r {\displaystyle C=2\pi r} $C=2\pi r$ , onde π {\displaystyle \pi } $\pi$ vale aproximadamente 3 , 14 {\displaystyle 3,14} $3,14$ .

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com A = π r 2 {\displaystyle A=\pi r^{2}} $A=\pi r^{2}$ , com π {\displaystyle \pi } $\pi$ valendo aproximadamente 3 , 14 {\displaystyle 3,14} $3,14$ .

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Fórmulas de cálculo

Retângulo

Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

A = l × w {\displaystyle A=l\times w}

A=l\times w

(área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

A = l 2 {\displaystyle A=l^{2}}

A=l^{2}

(área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

Dois triângulos iguais. A = b × h {\displaystyle A=b\times h}

A=b\times h

(área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

A = b × h 2 {\displaystyle A={\frac {b\times h}{2}}}

A={\frac {b\times h}{2}}

(área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

Área do trapézio:

A = B + b 2 × h {\displaystyle A={\frac {B+b}{2}}\times h}

A={\frac {B+b}{2}}\times h

(B = base maior; b = base menor; h = altura)

Área do losango:

A = D × d 2 {\displaystyle A={\frac {D\times d}{2}}}

A={\frac {D\times d}{2}}

(D = diagonal maior; d = diagonal menor)

Área de qualquer polígono regular:

P × a 2 {\displaystyle {\frac {P\times a}{2}}}

{\frac {P\times a}{2}}

(P = perímetro; a = comprimento do apótema)

Círculo

Círculo dividido em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio r {\displaystyle r} $r$ é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é r {\displaystyle r} $r$ e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, π r . {\displaystyle \pi r.} $\pi r.$ Resulta que a área do círculo é r × π r , {\displaystyle r\times \pi r,} $r\times \pi r,$ ou seja, π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} $\pi r^{2}$

A = π × r 2 {\displaystyle A=\pi \times r^{2}} $A=\pi \times r^{2}$ (área do círculo; r = raio)

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente π r 2 , {\displaystyle \pi r^{2},} $\pi r^{2},$ que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

A = ∫ − r r 2 r 2 − x 2 d x = π r 2 . {\displaystyle A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.}

A\;=\;\int _{-r}^{r}2{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,dx\;=\;\pi r^{2}.

Área de uma superfície

Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio r {\displaystyle r} $r$ é:

A = 4 π r 2 {\displaystyle A=4\pi r^{2}}

A=4\pi r^{2}

(área da esfera)

Lista de fórmulas

Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área

Figura	Formula	Variáveis
Triângulo equilátero	L 2 4 3 {\displaystyle {\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {3}}} ${\frac {L^{2}}{4}}{\sqrt {3}}$	L {\displaystyle L} $L$ é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo	p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}} ${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$	p {\displaystyle p} $p$ é metade do perímetro, a , {\displaystyle a,} $a,$ b {\displaystyle b} $b$ e c {\displaystyle c} $c$ é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo	1 2 a b s e n ( C ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab\mathrm {sen} \,(C)} ${\tfrac {1}{2}}ab\mathrm {sen} \,(C)$	a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ são quaisquer dois lados, e C {\displaystyle C} $C$ é o ângulo entre eles.
Triângulo	1 2 b h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}bh} ${\tfrac {1}{2}}bh$	b {\displaystyle b} $b$ e h {\displaystyle h} $h$ são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado	l 2 {\displaystyle l^{2}} $l^{2}$	l {\displaystyle l} $l$ é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo	a b {\displaystyle ab} $ab$	a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango	1 2 a b {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ab} ${\tfrac {1}{2}}ab$	a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo	b h {\displaystyle bh} $bh$	b {\displaystyle b} $b$ é o comprimento da base e h {\displaystyle h} $h$ é a altura medida na perpendicular.
Trapézio	1 2 ( a + b ) h {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(a+b)h} ${\tfrac {1}{2}}(a+b)h$	a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ são os lados paralelos e h {\displaystyle h} $h$ a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular	3 L 2 2 3 {\displaystyle {\frac {3L^{2}}{2}}{\sqrt {3}}} ${\frac {3L^{2}}{2}}{\sqrt {3}}$	L {\displaystyle L} $L$ é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular	2 ( 1 + 2 ) l 2 {\displaystyle 2(1+{\sqrt {2}})l^{2}} $2(1+{\sqrt {2}})l^{2}$	l {\displaystyle l} $l$ é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular	1 4 n l 2 ⋅ cot ⁡ ( π / n ) {\displaystyle {\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)} ${\frac {1}{4}}nl^{2}\cdot \cot(\pi /n)$	l {\displaystyle l} $l$ é o comprimento de um dos lados e n {\displaystyle n} $n$ o número de lados.
Polígono regular	1 2 n R 2 ⋅ s e n ( 2 π / n ) = n r 2 tan ⁡ ( π / n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \mathrm {sen} \,(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)} ${\frac {1}{2}}nR^{2}\cdot \mathrm {sen} \,(2\pi /n)=nr^{2}\tan(\pi /n)$	R {\displaystyle R} $R$ é o raio do círculo circunscrevente, r {\displaystyle r} $r$ o raio do círculo interior, e n {\displaystyle n} $n$ é o número de lados.
Polígono regular	1 2 a p {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ap} ${\tfrac {1}{2}}ap$	a {\displaystyle a} $a$ é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e p {\displaystyle p} $p$ é o perímetro do polígono.
Círculo	π r 2 ou π d 2 4 {\displaystyle \pi r^{2}\ {\text{ou}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}} $\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ {\frac {\pi d^{2}}{4}}$	r {\displaystyle r} $r$ é o raio e d {\displaystyle d} $d$ o diâmetro.
Setor circular	1 2 r 2 θ {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta } ${\tfrac {1}{2}}r^{2}\theta$	r {\displaystyle r} $r$ e θ {\displaystyle \theta } $\theta$ são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse	π a b {\displaystyle \pi ab} $\pi ab$	a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro	2 π r ( r + h ) {\displaystyle 2\pi r(r+h)} $2\pi r(r+h)$	r {\displaystyle r} $r$ e h {\displaystyle h} $h$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro	2 π r h {\displaystyle 2\pi rh} $2\pi rh$	r {\displaystyle r} $r$ e h {\displaystyle h} $h$ são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone	π r ( r + l ) {\displaystyle \pi r(r+l)} $\pi r(r+l)$	r {\displaystyle r} $r$ e l {\displaystyle l} $l$ são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera	4 π r 2 ou π d 2 {\displaystyle 4\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ \pi d^{2}} $4\pi r^{2}\ {\text{ou}}\ \pi d^{2}$	r {\displaystyle r} $r$ e d {\displaystyle d} $d$ são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide	B + P L 2 {\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}} $B+{\frac {PL}{2}}$	B {\displaystyle B} $B$ é a área da base, P {\displaystyle P} $P$ o perímetro da base e L {\displaystyle L} $L$ a distância do vértice aos cantos da base.

Aplicações

Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

Notação

Usa-se a escrita ( A B C . . . N ) {\displaystyle (ABC...N)} $(ABC...N)$ para indicar a área de um polígono de N {\displaystyle N} $N$ vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

Área de um triângulo

Critério para equivalência de triângulos Propriedade 1

Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

Demonstração: Dadas duas retas paralelas r {\displaystyle r} $r$ e s {\displaystyle s} $s$ , a uma distância d {\displaystyle d} $d$ , marcamos sobre a reta r {\displaystyle r} $r$ , os pontos A {\displaystyle A} $A$ e B {\displaystyle B} $B$ , e sobre a reta s {\displaystyle s} $s$ , marcamos os pontos, C {\displaystyle C} $C$ e C ′ {\displaystyle C^{\prime }} $C^{\prime }$ , conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência do corolário: Sejam A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} $ABC^{\prime }$ triângulos tais que A B / / C C ′ {\displaystyle AB//CC^{\prime }} $AB//CC^{\prime }$ . Então ( A B C ) = ( A B C ′ ) {\displaystyle (ABC)=(ABC^{\prime })} $(ABC)=(ABC^{\prime })$ .

Analisando as áreas dos triângulos A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} $ABC^{\prime }$ , temos que:

( A B C ) = A B ⋅ d 2 {\displaystyle (ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}} $(ABC)=AB\cdot {\frac {d}{2}}$

( A B C ′ ) = A B ⋅ d 2 {\displaystyle (ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}} $(ABC^{\prime })=AB\cdot {\frac {d}{2}}$

Assim, como r / / s {\displaystyle r//s} $r//s$ e a distância de r {\displaystyle r} $r$ a s {\displaystyle s} $s$ dada por d ( r , s ) = d {\displaystyle d(r,s)=d} $d(r,s)=d$ , se A {\displaystyle A} $A$ e B {\displaystyle B} $B$ pertencem a reta r {\displaystyle r} $r$ e C {\displaystyle C} $C$ pertence a reta s {\displaystyle s} $s$ , obtendo um ponto qualquer C ′ {\displaystyle C^{\prime }} $C^{\prime }$ sobre a reta s {\displaystyle s} $s$ , temos A B / / C C ′ {\displaystyle AB//CC^{\prime }} $AB//CC^{\prime }$ , portanto os dois triângulos A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ e A B C ′ {\displaystyle ABC^{\prime }} $ABC^{\prime }$ possuem a mesma base A B {\displaystyle AB} $AB$ e a mesma altura d {\displaystyle d} $d$ , logo suas áreas são iguais.

Propriedade 2

Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

Na triângulo A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ , foi traçada uma ceviana a partir do vértice A {\displaystyle A} $A$ intersectando o lado B C {\displaystyle BC} $BC$ no ponto X {\displaystyle X} $X$ , ficando assim determinados dois triângulos: A X B {\displaystyle AXB} $AXB$ e A X C {\displaystyle AXC} $AXC$ , de mesma altura A H {\displaystyle AH} $AH$ .

Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,

( A X B ) ( A X C ) = 1 2 B X ⋅ A X 1 2 C X ⋅ A H = B X C X {\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}} ${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}BX\cdot AX}{{\frac {1}{2}}CX\cdot AH}}={\frac {BX}{CX}}$

Portanto,

( A X B ) ( A X C ) = B X C X {\displaystyle {\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}} ${\frac {(AXB)}{(AXC)}}={\frac {BX}{CX}}$

Triângulos semelhantes

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

Sejam A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ e M N P {\displaystyle MNP} $MNP$ dois triângulos semelhantes, sendo k {\displaystyle k} $k$ a razão de semelhança entre seus lados:

M P A C = M N A B = N P B C = k {\displaystyle {\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k} ${\frac {MP}{AC}}={\frac {MN}{AB}}={\frac {NP}{BC}}=k$ , então temos ( M N P ) ( A B C ) = k 2 {\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}} ${\frac {(MNP)}{(ABC)}}=k^{2}$

Demonstração: Como N P = k ⋅ B C {\displaystyle NP=k\cdot BC} $NP=k\cdot BC$ e H M = k ⋅ A H {\displaystyle HM=k\cdot AH} $HM=k\cdot AH$ , temos pelas áreas dos triângulos:

( M N P ) ( A B C ) = 1 2 N P ⋅ A M 1 2 B C ⋅ A H = k ⋅ B C ⋅ k ⋅ A H B C ⋅ A H = k 2 {\displaystyle {\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}} ${\frac {(MNP)}{(ABC)}}={\frac {{\frac {1}{2}}NP\cdot AM}{{\frac {1}{2}}BC\cdot AH}}={\frac {k\cdot BC\cdot k\cdot AH}{BC\cdot AH}}=k^{2}$

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança k {\displaystyle k} $k$ entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será k 2 {\displaystyle k^{2}} $k^{2}$ .

A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas

Seja A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ um triângulo retângulo no vértice A {\displaystyle A} $A$ , onde a hipotenusa B C = a {\displaystyle BC=a} $BC=a$ , e seus catetos A B = c {\displaystyle AB=c} $AB=c$ e A C = b {\displaystyle AC=b} $AC=b$ , considerando ainda a altura relativa à hipotenusa A H = h {\displaystyle AH=h} $AH=h$ , bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa B H = m {\displaystyle BH=m} $BH=m$ e C H = n {\displaystyle CH=n} $CH=n$ , temos:

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:

I. a h = b c {\displaystyle ah=bc} $ah=bc$
II. c 2 = a m {\displaystyle c^{2}=am} $c^{2}=am$ e b 2 = n a {\displaystyle b^{2}=na} $b^{2}=na$
III. a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} $a^{2}=b^{2}+c^{2}$

Demonstração I:

I.a) Calculando a área ( A B C ) {\displaystyle (ABC)} $(ABC)$ a partir da base B C {\displaystyle BC} $BC$ e altura A H {\displaystyle AH} $AH$ :

( A B C ) = 1 2 B C ⋅ A H = 1 2 a ⋅ h {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h} $(ABC)={\frac {1}{2}}BC\cdot AH={\frac {1}{2}}a\cdot h$

I.b) Calculando a área ( A B C ) {\displaystyle (ABC)} $(ABC)$ a partir da base A C {\displaystyle AC} $AC$ e altura A B {\displaystyle AB} $AB$ :

( A B C ) = 1 2 A C ⋅ A B = 1 2 b ⋅ c {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c} $(ABC)={\frac {1}{2}}AC\cdot AB={\frac {1}{2}}b\cdot c$

Decorre de I.a) e I.b) temos que ( A B C ) = 1 2 a ⋅ h = 1 2 b ⋅ c {\displaystyle (ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c} $(ABC)={\frac {1}{2}}a\cdot h={\frac {1}{2}}b\cdot c$ .

Logo a ⋅ h = b ⋅ c {\displaystyle a\cdot h=b\cdot c} $a\cdot h=b\cdot c$

Demonstração II:

II.a) Dado o triângulo A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ , retângulo em A {\displaystyle A} $A$ , constrói-se quadrados sobre a hipotenusa B C {\displaystyle BC} $BC$ e os catetos A C {\displaystyle AC} $AC$ e A B {\displaystyle AB} $AB$ , respectivamente de medidas a {\displaystyle a} $a$ , b {\displaystyle b} $b$ e c {\displaystyle c} $c$ . Depois prolonga-se a altura A H {\displaystyle AH} $AH$ até interceptar o lado F G {\displaystyle FG} $FG$ do quadrado B C G F {\displaystyle BCGF} $BCGF$ no ponto I {\displaystyle I} $I$ .

Observando os segmentos paralelos B G {\displaystyle BG} $BG$ e A I {\displaystyle AI} $AI$ , percebe-se dois triângulos G B A {\displaystyle GBA} $GBA$ e G B H {\displaystyle GBH} $GBH$ de mesma área, cujas bases medem a {\displaystyle a} $a$ e as alturas medem m {\displaystyle m} $m$ .

Assim, ( G B A ) = ( G B H ) = 1 2 B G ⋅ B H = 1 2 a ⋅ m {\displaystyle (GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m} $(GBA)=(GBH)={\frac {1}{2}}BG\cdot BH={\frac {1}{2}}a\cdot m$

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos G B A {\displaystyle GBA} $GBA$ e B D C {\displaystyle BDC} $BDC$ são congruentes pelo caso LAL, pois B D ≡ B A {\displaystyle BD\equiv BA} $BD\equiv BA$ , B C ≡ B G {\displaystyle BC\equiv BG} $BC\equiv BG$ e ∠ C B D ≡ ∠ A B C + 90 ∘ {\displaystyle \angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }} $\angle CBD\equiv \angle ABC+90^{\circ }$ . Logo, ( B D C ) = ( G B A ) {\displaystyle (BDC)=(GBA)} $(BDC)=(GBA)$ . E como os segmentos B D {\displaystyle BD} $BD$ e A C {\displaystyle AC} $AC$ são paralelos temos que ( B D A ) = ( B D C ) {\displaystyle (BDA)=(BDC)} $(BDA)=(BDC)$ , visto que a base B D {\displaystyle BD} $BD$ e a altura A B {\displaystyle AB} $AB$ são comuns aos dois triângulos.

Assim: B D = A B = c {\displaystyle BD=AB=c} $BD=AB=c$ , então ( B D A ) = ( B D C ) = 1 2 B D ⋅ B A = 1 2 c ⋅ c = c 2 2 {\displaystyle (BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}} $(BDA)=(BDC)={\frac {1}{2}}BD\cdot BA={\frac {1}{2}}c\cdot c={\frac {c^{2}}{2}}$

Daí, ( G B A ) = ( B D C ) ⇒ a m 2 = c 2 2 ⇒ c 2 = a m {\displaystyle (GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am} $(GBA)=(BDC)\Rightarrow {\frac {am}{2}}={\frac {c^{2}}{2}}\Rightarrow c^{2}=am$

II.b) De maneira análoga, é provado que b 2 = a n {\displaystyle b^{2}=an} $b^{2}=an$

Como A I / / C F {\displaystyle AI//CF} $AI//CF$ , temos nos triângulos A C F {\displaystyle ACF} $ACF$ e H C F {\displaystyle HCF} $HCF$ que ( A C F ) = ( H C F ) {\displaystyle (ACF)=(HCF)} $(ACF)=(HCF)$ , pois possuem a mesma base C F {\displaystyle CF} $CF$ e mesma altura C H {\displaystyle CH} $CH$ , sendo assim:

( A C F ) = ( H C F ) = 1 2 C F ⋅ C H = 1 2 {\displaystyle (ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}} $(ACF)=(HCF)={\frac {1}{2}}CF\cdot CH={\frac {1}{2}}$

Temos ainda que os triângulos B C J {\displaystyle BCJ} $BCJ$ e A C F {\displaystyle ACF} $ACF$ são congruentes pelo caso LAL, pois A C ≡ C J = b {\displaystyle AC\equiv CJ=b} $AC\equiv CJ=b$ ; C F ≡ B C = a {\displaystyle CF\equiv BC=a} $CF\equiv BC=a$ ; ∠ A C F ≡ ∠ B C J ≡ ∠ A C B + 90 ∘ {\displaystyle \angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }} $\angle ACF\equiv \angle BCJ\equiv \angle ACB+90^{\circ }$ . Então, como A K / / C J {\displaystyle AK//CJ} $AK//CJ$ temos:

( A C J ) = ( B C J ) = 1 2 A C ⋅ C J = 1 2 b 2 {\displaystyle (ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}} $(ACJ)=(BCJ)={\frac {1}{2}}AC\cdot CJ={\frac {1}{2}}b^{2}$

Portanto, da congruência B C J {\displaystyle BCJ} $BCJ$ e A C F {\displaystyle ACF} $ACF$ , temos:

( B C J ) = ( A C F ) ⇒ 1 2 b 2 = 1 2 a n ⇒ b 2 = a n {\displaystyle (BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an} $(BCJ)=(ACF)\Rightarrow {\frac {1}{2}}b^{2}={\frac {1}{2}}an\Rightarrow b^{2}=an$

Demonstração III:

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

b 2 = a n {\displaystyle b^{2}=an} $b^{2}=an$ e c 2 = a m {\displaystyle c^{2}=am} $c^{2}=am$ , logo b 2 + c 2 = a n + a m ⇒ b 2 + c 2 = a ( n + m ) {\displaystyle b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)} $b^{2}+c^{2}=an+am\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a(n+m)$

Como n + m = a {\displaystyle n+m=a} $n+m=a$ , temos:

b 2 + c 2 = a ( n + m ) ⇒ b 2 + c 2 = a 2 {\displaystyle b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}} $b^{2}+c^{2}=a(n+m)\Rightarrow b^{2}+c^{2}=a^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

B C J ≡ A C F {\displaystyle BCJ\equiv ACF} $BCJ\equiv ACF$ , pelo caso LAL, então ( B C J ) = ( A C F ) {\displaystyle (BCJ)=(ACF)} $(BCJ)=(ACF)$ . Temos também que ( A C J ) = ( B C J ) = ( A C F ) {\displaystyle (ACJ)=(BCJ)=(ACF)} $(ACJ)=(BCJ)=(ACF)$ e ( A C F ) = ( C H F ) = ( B C J ) {\displaystyle (ACF)=(CHF)=(BCJ)} $(ACF)=(CHF)=(BCJ)$ . Daí, ( A C J ) = ( C H F ) {\displaystyle (ACJ)=(CHF)} $(ACJ)=(CHF)$ .

Logo, ( A C J K ) = 2 ( A C J ) = 2 ( C H F ) {\displaystyle (ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)} $(ACJK)=2(ACJ)=2(CHF)$ .

Por outro lado, da demonstração II. b), onde G B A ≡ B D C {\displaystyle GBA\equiv BDC} $GBA\equiv BDC$ , pelo caso LAL, então ( G B A ) = ( B D C ) {\displaystyle (GBA)=(BDC)} $(GBA)=(BDC)$ . Temos ainda que ( A B D ) = ( B D C ) = ( A B G ) {\displaystyle (ABD)=(BDC)=(ABG)} $(ABD)=(BDC)=(ABG)$ e ( A B G ) = ( B H G ) = ( B D C ) {\displaystyle (ABG)=(BHG)=(BDC)} $(ABG)=(BHG)=(BDC)$ . Daí, ( A B D ) = ( B H G ) {\displaystyle (ABD)=(BHG)} $(ABD)=(BHG)$ .

Logo, ( A B D E ) = 2 ( A B D ) = 2 ( B H G ) {\displaystyle (ABDE)=2(ABD)=2(BHG)} $(ABDE)=2(ABD)=2(BHG)$ .

Portanto, analisando a área do quadrado B C G F {\displaystyle BCGF} $BCGF$ de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:

( B C F G ) = ( C H I F ) + ( B H G I ) {\displaystyle (BCFG)=(CHIF)+(BHGI)} $(BCFG)=(CHIF)+(BHGI)$

( B C F G ) = 2 ( C H F ) + 2 ( B H G ) {\displaystyle (BCFG)=2(CHF)+2(BHG)} $(BCFG)=2(CHF)+2(BHG)$

( B C F G ) = ( A C J K ) + ( A B D E ) {\displaystyle (BCFG)=(ACJK)+(ABDE)} $(BCFG)=(ACJK)+(ABDE)$

Concluindo, ( B C F G ) = a 2 {\displaystyle (BCFG)=a^{2}} $(BCFG)=a^{2}$ , ( A C J K ) = b 2 {\displaystyle (ACJK)=b^{2}} $(ACJK)=b^{2}$ e ( A B D E ) = c 2 {\displaystyle (ABDE)=c^{2}} $(ABDE)=c^{2}$

Então, a 2 = b 2 + c 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}} $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ (Teorema de Pitágoras)

Área de um trapézio

No trapézio A B C D {\displaystyle ABCD} $ABCD$ de altura h {\displaystyle h} $h$ , temos os lados paralelos A B {\displaystyle AB} $AB$ e D C {\displaystyle DC} $DC$ , tal que A B = a {\displaystyle AB=a} $AB=a$ e D C = b {\displaystyle DC=b} $DC=b$ .

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que A B > D C {\displaystyle AB>DC} $AB>DC$ , e traçar pelo vértice B {\displaystyle B} $B$ um segmento paralelo ao lado A D {\displaystyle AD} $AD$ de forma que intercepte o lado D C {\displaystyle DC} $DC$ no ponto E {\displaystyle E} $E$ . Assim, como A B / / D C {\displaystyle AB//DC} $AB//DC$ e A D / / B E {\displaystyle AD//BE} $AD//BE$ , temos o paralelogramo A B E D {\displaystyle ABED} $ABED$ de altura h {\displaystyle h} $h$ e base D E = A B = a {\displaystyle DE=AB=a} $DE=AB=a$ , e temos ainda um triângulo B C E {\displaystyle BCE} $BCE$ de base E C = D C − D E = b − a {\displaystyle EC=DC-DE=b-a} $EC=DC-DE=b-a$ , e altura h {\displaystyle h} $h$ .

Note que:

( A B C D ) = ( A B E D ) + ( B C E ) = a ⋅ h + 1 2 ( b − a ) h = 2 a h + b h − a h 2 {\displaystyle (ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}} $(ABCD)=(ABED)+(BCE)=a\cdot h+{\frac {1}{2}}(b-a)h={\frac {2ah+bh-ah}{2}}$

Portanto,

( A B C D ) = ( a + b ) h 2 {\displaystyle (ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}} $(ABCD)={\frac {(a+b)h}{2}}$

Área de um losango

De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então ( A B C D ) = 1 2 A B C D {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD} $(ABCD)={\frac {1}{2}}ABCD$ .

Demonstração: Dado o losango A B C D {\displaystyle ABCD} $ABCD$ , cujas diagonais interceptam-se no ponto M {\displaystyle M} $M$ , simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais A C {\displaystyle AC} $AC$ e B D {\displaystyle BD} $BD$ .

Como A B = B C = C D = D A {\displaystyle AB=BC=CD=DA} $AB=BC=CD=DA$ , os triângulos determinados pelas diagonais A C {\displaystyle AC} $AC$ e B D {\displaystyle BD} $BD$ , são isósceles e como M {\displaystyle M} $M$ é ponto médio destas diagonais, temos que, A M = M C {\displaystyle AM=MC} $AM=MC$ , B M = M D {\displaystyle BM=MD} $BM=MD$ , portanto os triângulos A B D {\displaystyle ABD} $ABD$ e B C D {\displaystyle BCD} $BCD$ são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos A D C {\displaystyle ADC} $ADC$ e A B C {\displaystyle ABC} $ABC$ , pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal B D {\displaystyle BD} $BD$ .

( A B C D ) = ( A B D ) + ( B C D ) = 1 2 B D ⋅ M C + 1 2 B D ⋅ A M {\displaystyle (ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM} $(ABCD)=(ABD)+(BCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot MC+{\frac {1}{2}}BD\cdot AM$

( A B C D ) = 1 2 B D ⋅ ( A M + M C ) {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)} $(ABCD)={\frac {1}{2}}BD\cdot (AM+MC)$ .

Como A M + M C = A C {\displaystyle AM+MC=AC} $AM+MC=AC$ , temos:

( A B C D ) = 1 2 A C ⋅ B D {\displaystyle (ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD} $(ABCD)={\frac {1}{2}}AC\cdot BD$

Ver também

Referências

↑ Facco, Sonia Regina. «Conceito de área» (PDF). pucsp.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
↑ «Bureau International des Poids et Mesures» (em inglês)
↑ Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.
↑ Só Matemática. «História da Geometria». Consultado em 17 de junho de 2015
↑ «Área do trapézio». colegioweb.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
↑ «Cálculo de área». matematicadidatica.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
↑ Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, New York: Barnes & Noble publicado por acordo com St. Martin's Press, p. 17 :
"The area of a circle... is A = {\displaystyle A=} $A=$ π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} $\pi r^{2}$ "
("A área de um círculo... é A = {\displaystyle A=} $A=$ π r 2 {\displaystyle \pi r^{2}} $\pi r^{2}$ ")
↑ Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. : SBM. 215 páginas
↑ Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. : SBM. 219 páginas

Ligações externas

WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades