120 células



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120 células
Schlegel wireframe 120-cell.png
Diagrama de Schlegel
(vértices e arestas)
Modelo 4 politopo regular convexo
Símbolo Schläfli {5,3,3}
Diagrama de Coxeter CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
Células 120 {5,3} Dodecahedron.png
Rostos 720 {5} Pentágono regular.svg
Arestas 1200
Vértices 600
Figura do vértice Verf.png de 120 células
tetraedro
Polígono de Petrie 30 gon
Grupo Coxeter H 4 , [3,3,5]
Dual 600 células
Propriedades convexo , isogonal , isotoxal , isohedral
Índice uniforme 32

Em geometria , a célula 120 é o 4-politopo regular convexo com o símbolo Schläfli {5,3,3}. É também chamado de C 120 , dodecaplex (abreviação de "complexo dodecaédrico"), hiperdodecaedro , polidodecaedro , hecatonicosachoron , dodecacontachoron e hecatonicosaedroide .

O limite da célula 120 é composto por 120 células dodecaédricas com 4 encontrando-se em cada vértice. Pode ser considerado o análogo quadridimensional do dodecaedro regular . Assim como um dodecaedro pode ser construído como um modelo com 12 pentágonos, 3 ao redor de cada vértice, o dodecaedro pode ser construído a partir de 120 dodecaedros , sendo 3 ao redor de cada aresta.

A célula 120 Davis , introduzida por Davis (1985) , é uma variedade hiperbólica quadridimensional compacta obtida pela identificação de faces opostas da célula 120, cuja cobertura universal dá o favo de mel regular {5,3,3,5} de 4 espaço hiperbólico dimensional.

Elementos

Como uma configuração

Esta matriz de configuração representa 120 células. As linhas e colunas correspondem a vértices, arestas, faces e células. Os números diagonais indicam quantos de cada elemento ocorrem em toda a célula 120. Os números não-diagonais dizem quantos elementos da coluna ocorrem no ou no elemento da linha.

Aqui está a configuração expandida com k elementos -Face e k -figures. As contagens de elementos diagonais são a proporção da ordem do grupo Coxeter completo , 14400, dividido pela ordem do subgrupo com a remoção do espelho.

H 4 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png k -face f k f 0 f 1 f 2 f 3 k -fig Notas
A 3 CDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png () f 0 600 4 6 4 {3,3} H 4 / A 3 = 14400/24 = 600
A 1 A 2 CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png {} f 1 2 720 3 3 {3} H 4 / A 2 A 1 = 14400/6/2 = 1200
H 2 A 1 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.pngCDel 2.pngCDel node.png {5} f 2 5 5 1200 2 {} H 4 / H 2 A 1 = 14400/10/2 = 720
H 3 CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node x.png {5,3} f 3 20 30 12 120 () H 4 / H 3 = 14400/120 = 120

Coordenadas cartesianas

Os 600 vértices de uma célula de 120 com um comprimento de borda de 2/ 2= 3 5 e um raio do centro ao vértice de 8 = 2 2 incluem todas as permutações de:

(0, 0, ± 2, ± 2)
(± 1, ± 1, ± 1, ± 5 )
2 , ± , ± , ± )
1 , ± 1 , ± 1 , ± 2 )

e todas as permutações uniformes de

(0, ± 2 , ± 1, ± 2 )
(0, ± 1 , ± , ± 5 )
1 , ± 1, ± , ± 2)

onde é a proporção áurea ,1 + 5/2.

Gráfico poliédrico

Considerando a matriz de adjacência dos vértices representando seu grafo poliédrico, o diâmetro do grafo é 15, conectando cada vértice à sua coordenada-negação, a uma distância euclidiana de 4 2 de distância (seu perímetro), e existem 24 caminhos diferentes para conectá-los ao longo das bordas do politopo. De cada vértice, existem 4 vértices na distância 1, 12 na distância 2, 24 na distância 3, 36 na distância 4, 52 na distância 5, 68 na distância 6, 76 na distância 7, 78 na distância 8, 72 na distância 9, 64 na distância 10, 56 na distância 11, 40 na distância 12, 12 na distância 13, 4 na distância 14 e 1 na distância 15. A matriz de adjacência tem 27 autovalores distintos que variam de2/ 2, com uma multiplicidade de 4, a 4, com uma multiplicidade de 1. A multiplicidade do valor próprio 0 é 18, e a classificação da matriz de adjacência é 582.

Os vértices do gráfico poliédrico de 120 células podem ser coloridos com 3 cores .

Não foi publicado se o gráfico é hamiltoniano ou euleriano ou ambos ou nenhum.

Visualização

A célula 120 consiste em 120 células dodecaédricas. Para fins de visualização, é conveniente que o dodecaedro tenha faces paralelas opostas (uma característica que compartilha com as células do tesserato e das 24 células ). Pode-se empilhar os dodecaedros face a face em uma linha reta dobrada na 4ª direção em um grande círculo com uma circunferência de 10 células. A partir dessa construção inicial de dez células, há duas visualizações comuns que podemos usar: uma projeção estereográfica em camadas e uma estrutura de anéis entrelaçados.

Projeção estereográfica em camadas

As localizações das células se prestam a uma descrição hiperesférica. Escolha um dodecaedro arbitrário e rotule-o de "pólo norte". Doze meridianos do grande círculo (quatro células de comprimento) irradiam em 3 dimensões, convergindo na quinta célula do "pólo sul". Este esqueleto é responsável por 50 das 120 células (2 + 4 × 12).

Começando no Pólo Norte, podemos construir as 120 células em 9 camadas latitudinais, com alusões à topografia de 2 esferas terrestres na tabela abaixo. Com exceção dos pólos, os centróides das células de cada camada estão em uma 2-esfera separada, com os centróides equatoriais em uma grande 2-esfera. Os centróides das 30 células equatoriais formam os vértices de um icosidodecaedro , com os meridianos (conforme descrito acima) passando pelo centro de cada face pentagonal. As células marcadas como "intersticiais" na tabela a seguir não caem nos grandes círculos meridianos.

Camada # Número de Células Descrição Colatitude Região
1 1 célula Polo Norte 0 ° Hemisfério norte
2 12 células Primeira camada de células meridionais / " Círculo Polar Ártico " 36 °
3 20 células Não meridiano / intersticial 60 °
4 12 células Segunda camada de células meridionais / " Trópico de câncer " 72 °
5 30 células Não meridiano / intersticial 90 ° Equador
6 12 células Terceira camada de células meridionais / " Trópico de Capricórnio " 108 ° Hemisfério sul
7 20 células Não meridiano / intersticial 120 °
8 12 células Quarta camada de células meridionais / " Círculo Antártico " 144 °
9 1 célula pólo Sul 180 °
Total 120 células

As células das camadas 2, 4, 6 e 8 estão localizadas sobre as faces da célula polar. As células das camadas 3 e 7 estão localizadas diretamente sobre os vértices da célula do pólo. As células da camada 5 estão localizadas nas bordas da célula do pólo.

Anéis entrelaçados

As 120 células podem ser divididas em 12 anéis de grande círculo disjuntos de 10 células, formando uma fibração de Hopf discreta / quantizada . Começando com um anel de 10 células, pode-se colocar outro anel ao lado dele que forma uma espiral em torno do anel original uma volta completa em dez células. Cinco desses anéis de 10 células podem ser colocados adjacentes ao anel original de 10 células. Embora os anéis externos "espiralem" em torno do anel interno (e entre si), na verdade eles não têm torção helicoidal . Eles são todos equivalentes. O espiralamento é resultado da curvatura de 3 esferas. O anel interno e os cinco anéis externos formam agora um toro sólido de 60 células com seis anéis. Pode-se continuar adicionando anéis de 10 células adjacentes aos anteriores, mas é mais instrutivo construir um segundo toro, separado do anterior, das 60 células restantes, que se encaixa com o primeiro. A célula de 120, como a esfera 3, é a união desses dois toros ( Clifford ). Se o anel central do primeiro toro é um grande círculo meridiano conforme definido acima, o anel central do segundo toro é o grande círculo equatorial que está centrado no círculo meridiano. Observe também que a concha em espiral de 50 células em torno de um anel central pode ser canhota ou destra. É apenas uma questão de particionar as células no shell de forma diferente, ou seja, escolher outro conjunto de grandes círculos separados.

Outras construções de grande círculo

Há um outro grande círculo de interesse que passa alternadamente por vértices celulares opostos e, em seguida, ao longo de uma aresta. Este caminho consiste em 6 células e 6 arestas. Ambos os caminhos do grande círculo acima têm caminhos duplos do grande círculo na célula de 600. O caminho face a face de 10 células acima é mapeado para um caminho de 10 vértices que atravessa unicamente ao longo das bordas da célula 600, formando um decágono. O caminho alternado de célula / borda acima é mapeado para um caminho que consiste em 12 tetraedros que se encontram alternadamente face a face e vértice a vértice (seis bipiramídeos triangulares ) na célula 600. Este último caminho corresponde a um anel de seis icosaedras que se encontram frente a frente nas 24 células esnobes (ou pirâmides icosaédricas nas células 600).

Projeções

Projeções ortogonais

As projeções ortogonais da célula 120 podem ser feitas em 2D definindo dois vetores de base ortonormal para uma direção de vista específica. A projeção 30-gonal foi feita em 1963 por BLChilton .

A projeção decagonal H3 mostra o plano do polígono de van Oss .

Projeções ortográficas por planos de Coxeter
H 4 - F 4
Gráfico de 120 células H4.svg
[30]
(Vermelho = 1)
120 células t0 p20.svg
[20]
(Vermelho = 1)
120 células t0 F4.svg
[12]
(Vermelho = 1)
H 3 A 2 / B 3 / D 4 A 3 / B 2
120 células t0 H3.svg
[10]
(Vermelho = 5, laranja = 10)
120 células t0 A2.svg
[6]
(Vermelho = 1, laranja = 3, amarelo = 6, limão = 9, verde = 12)
120 células t0 A3.svg
[4]
(Vermelho = 1, laranja = 2, amarelo = 4, limão = 6, verde = 8)

As projeções ortogonais tridimensionais também podem ser feitas com três vetores de base ortonormal e exibidas como um modelo 3D e, em seguida, projetando uma determinada perspectiva em 3D para uma imagem 2d.

Projeções ortográficas 3D
120Cell 3D.png
Projeção isométrica 3D

Rotação 4D animada

Projeções em perspectiva

Essas projeções usam a projeção em perspectiva , de um ponto de vista específico em quatro dimensões, e projetando o modelo como uma sombra 3D. Portanto, as faces e células que parecem maiores estão apenas mais próximas do ponto de vista 4D. Os diagramas de Schlegel usam perspectiva para mostrar figuras quadridimensionais, escolhendo um ponto acima de uma célula específica, tornando a célula como o envelope do modelo 3D, e outras células são menores vistas dentro dela. As projeções estereográficas usam a mesma abordagem, mas são mostradas com bordas curvas, representando o politopo um ladrilho de 3 esferas .

Uma comparação das projeções em perspectiva de 3D para 2D é mostrada em analogia.

Comparação com dodecaedro regular
Projeção Dodecaedro 120 células
Diagrama de Schlegel Dodecaedro schlegel.svg
12 faces do pentágono no plano
Schlegel wireframe 120-cell.png
120 células dodecaédricas em 3 espaços
Projeção estereográfica Dodecahedron stereographic projection.png Stereographic polytope 120cell faces.png
Com faces transparentes
Projeção em perspectiva
120-cell perspective-cell-first-02.png Projeção em perspectiva da primeira célula a 5 vezes a distância do centro a um vértice, com estes aprimoramentos aplicados:
  • Dodecaedro mais próximo ao ponto de vista 4D renderizado em amarelo
  • Os 12 dodecaedros imediatamente adjacentes, representados em ciano;
  • O dodecaedro restante representado em verde;
  • Células voltadas para o lado oposto do ponto de vista 4D (aquelas situadas no "lado oposto" da célula 120) selecionadas para minimizar a desordem na imagem final.
Perspectiva-vertex-first-02.png de 120 células Projeção em perspectiva de primeiro vértice a 5 vezes a distância do centro a um vértice, com estas melhorias:
  • Quatro células ao redor do vértice mais próximo mostrado em 4 cores
  • Vértice mais próximo mostrado em branco (centro da imagem onde 4 células se encontram)
  • Células restantes mostradas em verde transparente
  • Células afastadas do ponto de vista 4D selecionadas para maior clareza
120-cell.gif Uma projeção 3D de uma célula de 120 realizando uma rotação simples .
120-cell-inner.gif Uma projeção 3D de uma célula de 120 executando uma rotação simples (de dentro).
Rotação 4D animada

Poliedros e favos de mel relacionados

A célula 120 é um dos 15 politopos regulares e uniformes com a mesma simetria [3,3,5]:

Polopos da família H 4
120 células
120 células retificadas
truncado de
120 células
cantelada de
120 células

células 120 runcinadas

120 células cantitruncadas
runcitruncated
120-cell
omnitruncado de
120 células
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{5,3,3} r {5,3,3} t {5,3,3} rr {5,3,3} t 0,3 {5,3,3} tr {5,3,3} t 0,1,3 {5,3,3} t 0,1,2,3 {5,3,3}
120 células t0 H3.svg 120 células t1 H3.svg 120 células t01 H3.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t013 H3.png 120-cell t0123 H3.png
600 células t0 H3.svg T1 H3.svg de 600 células 600 células t01 H3.svg 600 células t02 H3.svg 120-cell t12 H3.png 120 células t123 H3.png 120-cell t023 H3.png
600 células
600 células retificadas
truncado de
600 células

600 células canteladas
bitruncado de
600 células

600 células cantitruncadas
runcitruncated
600-cell
omnitruncado de
600 células
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5} r {3,3,5} t {3,3,5} rr {3,3,5} 2t {3,3,5} tr {3,3,5} t 0,1,3 {3,3,5} t 0,1,2,3 {3,3,5}

É semelhante a três 4-politopos regulares : o 5-cell {3,3,3}, o tesseract {4,3,3}, do 4-espaço euclidiano, e o favo de mel hexagonal do espaço hiperbólico. Todos eles têm uma figura de vértice tetraédrica .

{p, 3,3} politopos
Espaço S 3 H 3
Forma Finito Paracompact Não compacto
Nome {3,3,3} {4,3,3} {5,3,3} {6,3,3} {7,3,3} {8,3,3} ... {, 3,3}
Imagem Stereographic polytope 5cell.png Stereographic polytope 8cell.png Stereographic polytope 120cell faces.png H3 633 FC boundary.png Honeycomb hiperbólico 7-3-3 poincare.png Honeycomb hiperbólico 8-3-3 poincare.png Honeycomb hiperbólico i-3-3 poincare.png
Células
{p, 3}
Tetrahedron.png
{3,3}
Hexahedron.png
{4,3}
Dodecahedron.png
{5,3}
Ladrilho uniforme 63-t0.svg
{6,3}
Heptagonal tiling.svg
{7,3}
H2-8-3-dual.svg
{8,3}
H2-I-3-dual.svg
{, 3}

Este favo de mel é parte de uma sequência de 4 politopos e favos de mel com células dodecaédricas :

{5,3, p} politopos
Espaço S 3 H 3
Forma Finito Compactar Paracompact Não compacto
Nome {5,3,3} {5,3,4} {5,3,5} {5,3,6} {5,3,7} {5,3,8} ... {5,3, }
Imagem Schlegel wireframe 120-cell.png H3 534 CC center.png H3 535 CC center.png H3 536 CC center.png Honeycomb hiperbólico 5-3-7 poincare.png Honeycomb hiperbólico 5-3-8 poincare.png Honeycomb hiperbólico 5-3-i poincare.png

Figura do vértice
Tetrahedron.png
{3,3}
Octahedron.png
{3,4}
Icosahedron.png
{3,5}
Ladrilho uniforme 63-t2.svg
{3,6}
Order-7 triangular tiling.svg
{3,7}
H2-8-3-primal.svg
{3,8}
H2 lado a lado 23i-4.png
{3, }

Veja também

Notas

Referências

links externos

Polopos da família H 4
120 células
120 células retificadas
truncado de
120 células
cantelada de
120 células

células 120 runcinadas

120 células cantitruncadas
runcitruncated
120-cell
omnitruncado de
120 células
CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{5,3,3} r {5,3,3} t {5,3,3} rr {5,3,3} t 0,3 {5,3,3} tr {5,3,3} t 0,1,3 {5,3,3} t 0,1,2,3 {5,3,3}
120 células t0 H3.svg 120 células t1 H3.svg 120 células t01 H3.svg 120-cell t02 H3.png 120-cell t03 H3.png 120-cell t012 H3.png 120-cell t013 H3.png 120-cell t0123 H3.png
600 células t0 H3.svg T1 H3.svg de 600 células 600 células t01 H3.svg 600 células t02 H3.svg 120-cell t12 H3.png 120 células t123 H3.png 120-cell t023 H3.png
600 células
600 células retificadas
truncado de
600 células

600 células canteladas
bitruncado de
600 células

600 células cantitruncadas
runcitruncated
600-cell
omnitruncado de
600 células
CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
{3,3,5} r {3,3,5} t {3,3,5} rr {3,3,5} 2t {3,3,5} tr {3,3,5} t 0,1,3 {3,3,5} t 0,1,2,3 {3,3,5}
Família A n B n I 2 (p) / D n E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 H n
Polígono regular Triângulo Quadrado p-gon Hexágono Pentágono
Poliedro uniforme Tetraedro Octaedro Cubo Demicube Dodecaedro Icosaedro
Polychoron uniforme Pentachoron 16 células Tesseract Demitesseract 24 células 120 células 600 células
Uniform 5-polytope 5-simplex 5-ortoplexo 5-cubo 5-demicube
Uniform 6-polytope 6-simplex 6-orthoplex 6-cubo 6-demicube 1 22 2 21
7-politopo uniforme 7-simplex 7-orthoplex 7-cubo 7-demicube 1 32 2 31 3 21
8 politopo uniforme 8-simplex 8-orthoplex 8-cubo 8-demicube 1 42 2 41 4 21
Uniform 9-polytope 9-simplex 9-ortoplexo 9-cubo 9-demicube
Uniforme 10-politopo 10-simplex 10-ortoplexo 10-cubo 10-demicube
Uniforme n - politopo n - simplex n - ortoplex n - cubo n - demicube 1 k2 2 k1 k 21 n - politopo pentagonal
Tópicos: famílias Polytope polytope regular Lista de politopos regulares e compostos

Opiniones de nuestros usuarios

Jean De Jesus

Não sei como cheguei a este artigo 120 células, mas gostei muito.

Emerson Vasconcelos

Fiquei encantado ao encontrar este artigo sobre 120 células.

Ademir De Souza

Acho muito interessante a forma como esta entrada em 120 células está escrita, lembra-me dos meus anos de escola. Que tempos bonitos, obrigado por me trazer de volta a eles.