(2,1) triângulo



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Em matemática , o (2,1) triângulo -Pascal (espelhado triângulo Lucas ) é uma matriz triangular .

As linhas de a (2,1) triângulo -Pascal (sequência A029653 no OEIS ) são convencionalmente enumerados começando com fileira n  = 0, na parte superior (linha 0). As entradas em cada fila são numeradas a partir da esquerda começando com k  = 0 e geralmente são escalonados relativamente aos números nas fileiras adjacentes.

O triângulo é baseado no triângulo de Pascal com a segunda linha sendo (2,1) e a primeira célula de cada linha definida como 2.

Esta construção está relacionada com os coeficientes binomiais pelo governo de Pascal , com um dos termos que estão sendo .

Padrões e propriedades

(2,1) triângulo -Pascal tem muitas propriedades e contém muitos padrões de números. Ele pode ser visto como uma irmã do triângulo de Pascal , da mesma forma que uma seqüência de Lucas é uma seqüência irmã da sequência de Fibonacci .

linhas

  • Excepto a linha N = 0, 1, a soma dos elementos de uma única linha é duas vezes a soma da linha precedente. Por exemplo, a linha 1 tem um valor de 3, linha 2 tem um valor de 6, linha 3 tem um valor de 12, e assim por diante. Isso ocorre porque cada item em uma linha produz dois itens na linha seguinte: uma esquerda e uma direita. A soma dos elementos de linha  n é igual a . (Sequência A003945 no OEIS ) (sequência A007283 no OEIS )
  • O valor de uma linha , se cada entrada é considerado uma casa decimal (e números maiores do que 9 transitar em conformidade) é uma potência de 11 multiplicado por 21 ( , para a linha  n ). Assim, na linha 2, 2, 3, 1 torna-se , enquanto 2, 9, 16, 14, 6, 1 em linha torna-se cinco (após a realização) 307,461, que é . Esta propriedade é explicado, definindo x = 10 na expansão de binomial (2 x + 1) ( x + 1) n -1 , e ajustar os valores para o sistema decimal. Mas x pode ser escolhido para permitir linhas para representar valores em qualquer base de .
    • Na base 3 :
    • Na base de 9 :
    •              
  • Polaridade: Ainda um outro padrão interessante, quando são adicionadas linhas do triângulo de Pascal e subtraídos juntos sequencialmente, cada linha com um número médio, ou seja, linhas que têm um número ímpar de inteiros, eles estão sempre igual a 0. Exemplo, linha 4 é 2 7 9 5 1 , de modo que a fórmula seria 9 - (7 + 5) + (2 + 1) = 0 , fila 6 é de 2 11 25 30 20 7 1 , de modo que a fórmula deve ser de 30 - (25 + 20) + ( 11 + 7) - (2 + 1) = 0 . Assim, cada mesmo fileira do triângulo de Pascal é igual a 0 quando você levar o número do meio, em seguida, subtrair os inteiros diretamente junto ao centro, em seguida, adicione os próximos números inteiros, em seguida, subtrair, assim por diante e assim por diante até chegar ao final da linha.
    • Ou podemos dizer que quando tomamos o primeiro termo de uma linha, em seguida, subtrair o segundo mandato, em seguida, adicione o terceiro mandato, em seguida, subtrair, assim por diante e assim por diante até chegar ao final da linha, o resultado é sempre igual a 0.
    • fileira 3: 2-3 + 1 = 0
    • linha 4: 2-5 + 4-1 = 0
    • linha 5: 2-7 + 9-5 + 1 = 0
    • linha 6: 2-9 + 16-14 + 6-1 = 0
    • linha 7: 2-11 + 25 - 30 + 20-7 + 1 = 0
    • linha 8: 2-13 + 36-55 + 50-27 + 8-1 = 0

diagonais

As diagonais do triângulo de Pascal conter os número figurado de simplices:

padrões gerais e propriedades

  • O padrão obtido pela coloração apenas os números ímpares no triângulo de Pascal se assemelha ao fractal chamado Triângulo de Sierpinski . Esta semelhança torna-se mais e mais preciso quanto mais linhas são considerados; no limite, como o número de linhas se aproxima do infinito, o padrão resultante é o triângulo Sierpinsky, assumindo um perímetro fixo. Mais geralmente, os números poderiam ser colorida de forma diferente de acordo com se ou não são múltiplos de 3, 4, etc .; isso resulta em outros padrões semelhantes.
  • Imagine que cada número do triângulo é um nó numa grelha que se encontra ligado aos números adjacentes acima e abaixo dele. Agora, para qualquer nó na grade, contar o número de caminhos existem na grade (sem recuo) que ligue este nó para o nó superior (1) do triângulo. A resposta é o número Pascal associado a esse nó.
  • Uma propriedade do triângulo é revelado se as linhas são justificados à esquerda. No triângulo abaixo, as faixas coloridas diagonais somar sucessivos números de Fibonacci e números Lucas .
1
2 1
2 3 1
2 5 4 1
2 7 9 5 1
2 9 16 14 6 1
2 11 25 30 20 7 1
2 13 36 55 50 27 8 1
2 15 49 91 105 77 35 9 1
1
2 1
2 3 1
2 5 4 1
2 7 9 5 1
2 9 16 14 6 1
2 11 25 30 20 7 1
2 13 36 55 50 27 8 1
2 15 49 91 105 77 35 9 1
  • Esta construção também está relacionado com a expansão da usando .
  • então

Referências

Opiniones de nuestros usuarios

Luciana De Azevedo

O artigo sobre (2,1) triângulo está completo e bem explicado. Eu não adicionaria ou removeria uma vírgula.

Flavio De Lourdes

Para quem como eu procura informações sobre (2,1) triângulo, essa é uma opção muito boa.

Denise Castro

Neste post sobre (2,1) triângulo eu aprendi coisas que não sabia, então posso ir para a cama agora.