Função bijectiva

Uma função bijetiva, função bijetora, correspondência biunívoca ou bijeção, é uma função injectiva e sobrejectiva (injetora e sobrejetora, como é mais comum em português brasileiro).

Uma função bijetiva (injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo)
Função injetiva, mas não sobrejetiva (portanto não é bijetiva)
Função sobrejetiva, mas não injetiva (portanto não é bijetiva)
Função nem injetiva nem sobrejetiva (portanto não é bijetiva)

Os termos injectiva, sobrejectiva e bijectiva se popularizaram devido ao seu uso por Nicolas Bourbaki.

Definição

Sejam X {\displaystyle X} $X$ e Y {\displaystyle Y} $Y$ conjuntos e f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y} $f:X\to Y$ uma função de X {\displaystyle X} $X$ a Y {\displaystyle Y} $Y$ . Então f {\displaystyle f} $f$ é dita bijetiva, ou bijetora, se satisfizer as seguintes condições:

Sobrejetiva: para cada elemento y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} $y\in Y$ , existe ao menos um x ∈ X {\displaystyle x\in X} $x\in X$ tal que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} $f(x)=y$ ;
Injetiva: para cada elemento x ∈ X {\displaystyle x\in X} $x\in X$ , existe um único y ∈ Y {\displaystyle y\in Y} $y\in Y$ tal que f ( x ) = y {\displaystyle f(x)=y} $f(x)=y$ .

Isto é, uma função é bijetora quando associa cada elemento de X {\displaystyle X} $X$ a um único de Y {\displaystyle Y} $Y$ e vice-versa: a cada elemento de Y {\displaystyle Y} $Y$ , um único de X {\displaystyle X} $X$ . Esta propriedade também é chamada de associação biunívoca, ou um-para-um, mas este último termo também é utilizado genericamente para funções injetoras.

Exemplos

A função f : { 0 , 1 , 2 } → { 0 , 1 , 4 } {\displaystyle f:\{0,1,2\}\to \{0,1,4\}} $f:\{0,1,2\}\to \{0,1,4\}$ , tal que f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , é bijetiva.
A função f : { − 1 , 0 , 1 } → { 0 , 1 } {\displaystyle f:\{-1,0,1\}\to \{0,1\}} $f:\{-1,0,1\}\to \{0,1\}$ , tal que f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , não é bijetiva, pois não é injetiva: f ( 1 ) = f ( − 1 ) = 1 {\displaystyle f(1)=f(-1)=1} $f(1)=f(-1)=1$ .
A função f : { 0 , 1 } → { 0 , 1 , 4 } {\displaystyle f:\{0,1\}\to \{0,1,4\}} $f:\{0,1\}\to \{0,1,4\}$ , tal que f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ , não é bijetiva, pois não é sobrejetiva; i.e, não há nenhum elemento a {\displaystyle a} $a$ do domínio tal que f ( a ) = 4 {\displaystyle f(a)=4} $f(a)=4$ .
Dado um conjunto qualquer X {\displaystyle X} $X$ , a função identidade I d X : X → X {\displaystyle \mathrm {Id} _{X}:X\to X} $\mathrm {Id} _{X}:X\to X$ , tal que, para todo x ∈ X {\displaystyle x\in X} $x\in X$ , I d X ( x ) = x {\displaystyle \mathrm {Id} _{X}(x)=x} $\mathrm {Id} _{X}(x)=x$ , é uma bijeção de X {\displaystyle X} $X$ em si mesmo.
Qualquer função afim f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , da forma f ( x ) = a x + b {\displaystyle f(x)=ax+b} $f(x)=ax+b$ , com a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} $a\neq 0$ , é bijetiva.
Mais geralmente, qualquer função f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ da forma f ( x ) = a x n + b {\displaystyle f(x)=ax^{n}+b} $f(x)=ax^{n}+b$ , com a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} $a\neq 0$ e n {\displaystyle n} $n$ ímpar, é bijetiva.
Dada uma transformação linear T : V → W {\displaystyle T:V\to W} $T:V\to W$ entre espaços vetoriais V {\displaystyle V} $V$ e W {\displaystyle W} $W$ de dimensão finita, T {\displaystyle T} $T$ é bijetora se e somente seu determinante for não-nulo.

Condição de existência

Quando dois conjuntos finitos têm o mesmo número de elementos, então existe uma bijecção entre esses conjuntos. Na teoria dos conjuntos, essa propriedade é usada para definir a cardinalidade de conjuntos: dois conjuntos têm o mesmo número de elementos se, e somente se, existe uma bijecção entre eles.

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder constrói uma bijecção entre A e B, dadas duas injecções f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} $f:A\rightarrow B$ e g : B → A {\displaystyle g:B\rightarrow A} $g:B\rightarrow A$ .

Construção de funções bijetivas

Dada uma função injetiva f : A → B {\displaystyle f:A\to B} $f:A\to B$ , podemos formar uma função bijetiva g : A → I m ( f ) {\displaystyle g:A\to \mathrm {Im} (f)} $g:A\to \mathrm {Im} (f)$ reduzindo o contradomínio B {\displaystyle B} $B$ ao conjunto imagem de f {\displaystyle f} $f$ , mantendo os seus valores, de forma que ∀ x ∈ A , f ( x ) = g ( x ) {\displaystyle \forall x\in A,f(x)=g(x)} $\forall x\in A,f(x)=g(x)$ .

A questão análoga para funções sobrejetivas não é trivial: construir uma função bijetiva f : C → B {\displaystyle f:C\to B} $f:C\to B$ com C ⊆ A {\displaystyle C\subseteq A} $C\subseteq A$ a partir de uma função sobrejetiva f : A → B {\displaystyle f:A\to B} $f:A\to B$ exige o axioma da escolha, pois para cada y ∈ B {\displaystyle y\in B} $y\in B$ teríamos que escolher um único elemento x ∈ A {\displaystyle x\in A} $x\in A$ na pré-imagem f − 1 ( { y } ) {\displaystyle f^{-1}(\{y\})} $f^{-1}(\{y\})$ .

Teoria das Categorias

Na teoria das categorias, funções bijetivas são os isomorfismos da categoria Set. Em várias outras categorias os isomorfismos também são funções bijetivas, normalmente com alguma propriedade extra (por exemplo, na categoria dos grupos os isomorfismos são funções bijetivas que preservam a operação de grupo e a inversão).

Ver também

Wikilivros

Referências

↑ Writing the Ultimate Mathematical Textbook: Nicolas Bourbaki’s Éléments de mathématique, por Leo Corry, Tel Aviv University

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine

v d e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade