Espaço hiperbólico

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Em matemática, um espaço hiperbólico é um espaço homogêneo que possui uma curvatura negativa constante, onde neste caso a curvatura é a curvatura seccional.[1][2] É uma geometria hiperbólica em mais de 2 dimensões e distingue-se dos espaços euclidianos com curvatura zero que definem a geometria euclidiana e a geometria elíptica que possui uma curvatura positiva constante.[3]

Quando incorporado a um espaço euclidiano (de maior dimensão), todo ponto de um espaço hiperbólico é um ponto de sela.[4] Outra propriedade distintiva é a quantidade de espaço coberto pela bola n no espaço n hiperbólico: aumenta exponencialmente em relação ao raio da bola para raios grandes, em vez de polinomialmente.[5][6]

Definição formal

N-espaço hiperbólico, denotado Hn, é o máximo simétrico, simplesmente conectado, variedade Riemanniana n-dimensional com uma curvatura seccional negativa constante.[7] O espaço hiperbólico é um espaço que exibe geometria hiperbólica. É o análogo da curvatura negativa da n-esfera.[8] Embora o espaço hiperbólico Hn é difeomórfico para Rn, sua métrica de curvatura negativa fornece propriedades geométricas muito diferentes.[9][10]

O espaço bidimensional hiperbólico,H2, também é chamado de plano hiperbólico.[11][12]

Referências

  1. ↑ Paupert, Julien (2016). «Introduction to Hyperbolic Geometry» (PDF) 
  2. ↑ «Hyperbolic Space». graphics.stanford.edu. Consultado em 13 de novembro de 2019 
  3. ↑ Munteanu, Ovidiu (3 de fevereiro de 2008). «On a characterization of the complex hyperbolic space». arXiv:0802.0307  
  4. ↑ «The Geometric Viewpoint | Hyperbolic Geometry» (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  5. ↑ WIELENBERG, NORBERT J. (1981). «THREE DIMENSIONAL HYPERBOLIC SPACES» 
  6. ↑ Cheung, Leung-Fu; Leung, Pui-Fai (1 de junho de 1998). «The mean curvature and volume growth of complete noncompact submanifolds». Differential Geometry and its Applications. 8 (3): 251–256. ISSN 0926-2245. doi:10.1016/S0926-2245(98)00010-2 
  7. ↑ Keng, Brian (17 de junho de 2018). «Hyperbolic Geometry and Poincaré Embeddings». Bounded Rationality (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  8. ↑ Siboni, Marguerite (17 de setembro de 2019). «Spheres, Planes and Hyperbolic Geometry». Medium (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  9. ↑ «Poincare Ball model — geoopt 0.1.1 documentation». geoopt.readthedocs.io. Consultado em 13 de novembro de 2019 
  10. ↑ CURRIER, ROBERT (1989). «ON HYPERSURFACES OF HYPERBOLIC SPACE INFINITESIMALLY SUPPORTED BY HOROSPHERES» (PDF) 
  11. ↑ Lamb, Evelyn. «Everything Looks Better in the Hyperbolic Plane». Scientific American Blog Network (em inglês). Consultado em 13 de novembro de 2019 
  12. ↑ Ringermacher, Harry I. «On a Bipolar Model of Hyperbolic Geometry and its Relation to Hyperbolic Robertson-Walker Space» (PDF). Dept. of Physics and Astronomy, University of Southern Mississippi