Gramática irrestrita

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Em Teoria da computação, a Gramática irrestrita (conhecida também como Gramática com estrutura de frase) é também conhecida como Tipo 0 da Hierarquia de Chomsky, que são aquelas às quais nenhuma limitação é imposta. São capazes de gerar linguagens recursivamente enumeráveis. O universo das linguagens que se podem definir através dos mecanismos gerativos definidos pela gramática corresponde exatamente ao conjunto das linguagens que esta classe de gramática é capaz de gerar.

Uma gramática irrestrita é uma gramática formal ${\displaystyle G=(N,\Sigma ,P,S)}$, onde ${\displaystyle N}$ é um conjunto de símbolos não-terminais, ${\displaystyle \Sigma }$ é um conjunto de símbolos terminais, ${\displaystyle P}$ contém as produções da forma ${\displaystyle \alpha \to \beta }$ onde ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ são cadeias de símbolos em ${\displaystyle N\cup \Sigma }$ e ${\displaystyle \alpha }$ não é uma cadeia vazia. Além disso, ${\displaystyle S\in N}$ é o símbolo inicial. Como o nome implica, não há restrições nos tipos de produções que gramáticas irrestritas podem ter.

Vale notar que ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle \Sigma }$ não são necessariamente disjuntos, uma vez que gramáticas irrestritas não fazem distinção entre símbolos terminais e não-terminais. Tal distinção existe apenas para indicar quando parar ao gerar sentenças da gramática.

Pode ser mostrado que gramáticas irrestritas caracterizam as linguagens recursivamente enumeráveis. Isto é o mesmo que dizer que para toda gramática irrestrita ${\displaystyle G}$, existe alguma máquina de Turing capaz de reconhecer ${\displaystyle L(G)}$ e vice-versa. Dada uma gramática irrestrita, tal máquina de Turing é simples de construir como uma máquina de Turing não-determinística ${\displaystyle M}$, de duas fitas. A primeira fita contém a entrada w a ser testada e a segunda fita é usada pela máquina para gerar sentenças de ${\displaystyle G}$. ${\displaystyle M}$ é como segue:

1. Comece na esquerda da segunda fita e repetidamente escolha entre mover para a direita ou selecionar a posição atual da fita.
2. De modo não-determinístico, escolha uma produção ${\displaystyle \beta \to \gamma }$ das produções em ${\displaystyle G}$.
3. Se ${\displaystyle \beta }$ aparecer em alguma posição na segunda fita, substitua ${\displaystyle \beta }$ por ${\displaystyle \gamma }$ neste ponto, possivelmente deslocando os símbolos da fita para a esquerda ou direita dependendo dos tamanhos relativos entre ${\displaystyle \beta }$ e ${\displaystyle \gamma }$, i.e., se ${\displaystyle \beta }$ for maior que ${\displaystyle \gamma }$, desloca os símbolos da fita para a esquerda.
4. Compare a sentença resultante na fita 2 com a palavra da fita 1. Se forem iguais, aceite. Caso contrário, volte para o passo 1.

É fácil perceber que esta máquina de Turing irá gerar todas (e apenas) as sentenças de ${\displaystyle G}$ na segunda fita depois que o último passo for executado um número arbitrário de vezes. Assim a linguagem ${\displaystyle L(G)}$ é recursivamente enumerável. A construção reversa também é possível. Dada uma máquina de Turing, é possível criar uma gramática irrestrita.

Como pode ser esperado da equivalência entre gramáticas irrestritas e máquinas de Turing, o problema uma cadeia w pertencer ou não à linguagem de uma gramática irrestrita é indecidível. É perfeitamente possível criar uma gramática irrestrita universal, capaz de aceitar qualquer linguagem de outra gramática irrestrita, dada a descrição da linguagem, assim como é possível criar uma máquina de Turing universal. Assim, seria teoricamente possível construir uma linguagem de programação baseada em gramáticas irrestritas (e.g. Thue).

• Máquina de Turing
• Cálculo lambda
• Sistemas de Thue-Semi