Limite

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (da sequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito ( + ∞ ) {\displaystyle (+\infty )} . Os limites são usados no cálculo diferencial e integral e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas, continuidade de funções, soma de Riemann, integrais definidas e integrais impróprias.

Limite de uma sequência

Seja x 1 , x 2 , … {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots } uma sequência de números reais. A expressão:

lim x i = L {\displaystyle \lim x_{i}=L} significa que, para índices i {\textstyle i} suficientemente grandes, os termos x i {\textstyle x_{i}} da sequência estão arbitrariamente próximos do valor L . {\textstyle L.} Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L . {\textstyle L.}

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, pode ser interpretada como um desafio. O desafiante propõe quão perto de L {\textstyle L} os termos da sequência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo índice i {\textstyle i} , os demais termos da sequência estão tão ou mais perto de L {\textstyle L} quanto solicitado.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L {\textstyle L} (dado pelo desafiante), por exemplo, o intervalo aberto ( L − ϵ , L + ϵ ) {\textstyle (L-\epsilon ,L+\epsilon )} com ϵ > 0 {\textstyle \epsilon >0} , o desafiado deve exibir um número natural N {\displaystyle N} tal que ∀ i {\textstyle \forall i} com i > N {\textstyle i>N} tem-se que x i ∈ ( L − ϵ , L + ϵ ) {\textstyle x_{i}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )} .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

∀ ϵ > 0 ,   ∃ N ∈ N ; ∀ i ∈ N ∧   i ≥ N ⇒ | x i − L | < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon >0,~\exists N\in \mathbb {N} ;\forall i\in \mathbb {N} \land ~i\geq N\Rightarrow |x_{i}-L|<\epsilon }

Limite de uma função

Suponhamos que f ( x ) {\textstyle f(x)} é uma função real e que c {\textstyle c} é um número real. A expressão:

lim x → c f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L} significa que f ( x ) {\textstyle f(x)} se aproxima tanto de L {\textstyle L} quanto quisermos, quando se toma x {\textstyle x} suficientemente próximo de c {\textstyle c} . Quando tal acontece dizemos que o limite de f ( x ) {\textstyle f(x)} , à medida que x {\textstyle x} se aproxima de c {\textstyle c} , é L {\textstyle L} .

Note-se que esta definição não exige (ou implica) que f ( c ) = L {\textstyle f(c)=L} , nem sequer que f ( x ) {\textstyle f(x)} esteja definida em c {\textstyle c} . Agora, no caso de f ( c ) {\textstyle f(c)} existir (estar definido) e

lim x → c f ( x ) = f ( c ) {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=f(c)} diz-se que f ( x ) {\textstyle f(x)} é contínua no ponto c {\textstyle c} .

Exemplos

Consideremos

f ( x ) = x x 2 + 1 {\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}} à medida que x {\textstyle x} se aproxima de 2 {\textstyle 2} , i.e busquemos calcular lim x → 2 f ( x ) = lim x → 2 x x 2 + 1 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=\lim _{x\to 2}{\frac {x}{x^{2}+1}}} Neste caso, f ( x ) {\textstyle f(x)} está definida em 2 {\textstyle 2} e é igual ao seu limite: 0 , 4 , {\textstyle 0,\!4,} vejamos:
f(1,9) f(1,99) f(1,999) f(2) f(2,001) f(2,01) f(2,1)
0,4121 0,4012 0,4001 → {\displaystyle \rightarrow } 0,4 ← {\displaystyle \leftarrow } 0,3998 0,3988 0,3882

À medida que x {\textstyle x} aproxima-se de 2 {\textstyle 2} , f ( x ) {\textstyle f(x)} aproxima-se de 0 , 4 {\textstyle 0,\!4} e consequentemente temos

lim x → 2 f ( x ) = 0 , 4 {\displaystyle \lim _{x\to 2}f(x)=0,\!4} Ou seja, f ( x ) {\textstyle f(x)} é contínua no ponto 2 {\textstyle 2} .

Vejamos, agora, o seguinte exemplo de uma função não contínua (descontínua):

g ( x ) = { x x 2 + 1 , se  x ≠ 2 0 , se  x = 2. {\displaystyle g(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {x}{x^{2}+1}},&{\mbox{se }}x\neq 2\\\\0,&{\mbox{se }}x=2.\end{matrix}}\right.} O limite de g ( x ) {\textstyle g(x)} à medida que x {\textstyle x} se aproxima de 2 {\textstyle 2} é 0 , 4 {\textstyle 0,\!4} (tal como no exemplo acima), mas g ( 2 ) = 0 ≠ lim x → 2 g ( x ) {\displaystyle g(2)=0\neq \lim _{x\to 2}g(x)} e consequentemente g ( x ) {\textstyle g(x)} não é contínua em x = 2 {\textstyle x=2} .

Consideremos, agora, mais o seguinte exemplo de uma função descontínua:

h ( x ) = x − 1 x − 1 {\displaystyle h(x)={\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}} Apesar de h ( x ) {\textstyle h(x)} não estar definida em x = 1 {\textstyle x=1} , pode-se demonstrar (por exemplo, via regra de l'Hôpital) que lim x → 1 h ( x ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1}h(x)=2}
h(0,9) h(0,99) h(0,999) h(1.0) h(1,001) h(1,01) h(1,1)
1,95 1,99 1,999 → {\displaystyle \rightarrow } não está definido ← {\displaystyle \leftarrow } 2,001 2,010 2,10

Observa-se que x {\textstyle x} pode ser tomado tão próximo de 1 {\textstyle 1} quanto quisermos, sem no entanto ser igual a 1 {\textstyle 1} , donde infere-se que o limite de f ( x ) {\textstyle f(x)} é 2 {\textstyle 2} .

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

Sejam I ⊂ R {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } um intervalo de números reais, a ∈ I {\displaystyle a\in I} e f : I − { a } → R {\displaystyle f:I-\{a\}\to \mathbb {R} } uma função real definida em I − { a } . {\displaystyle I-\{a\}.} Escrevemos

A = lim x → a f ( x ) {\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)} quando para qualquer que seja ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} existe um δ > 0 {\displaystyle \delta >0} tal que para todo x ∈ I , {\displaystyle x\in I,} satisfazendo 0 < | x − a | < δ , {\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,} vale | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon } . Ou, usando a notação simbólica:

A = lim x → a f ( x ) ⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ∈ I ; 0 < | x − a | < δ ⇒ | f ( x ) − A | < ε {\displaystyle A=\lim _{x\to a}f(x)\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall x\in I;0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon }

Exemplos de provas de limites

Exemplo 1

lim x → 2 ( 3 x + 1 ) = 7 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 2}(3x+1)=7} Supondo um ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}

| ( 3 x + 1 ) − 7 | < ϵ {\displaystyle |(3x+1)-7|<\epsilon }

| 3 x − 6 | < ϵ {\displaystyle |3x-6|<\epsilon }

Dividindo por 3 em ambos os lados:

| x − 2 | < ϵ 3 {\displaystyle |x-2|<{\frac {\epsilon }{3}}}

O que prova o limite com δ = ϵ 3 > 0 {\displaystyle \delta ={\frac {\epsilon }{3}}>0}

Exemplo 2

lim x → 1 ( 1 + x ) = 2 {\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1}(1+x)=2}

Supondo um ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0}

| 1 + x − 2 | < ϵ {\displaystyle |1+x-2|<\epsilon }

| x − 1 | < ϵ {\displaystyle |x-1|<\epsilon }

E isso completa a prova com δ = ϵ > 0 {\displaystyle \delta =\epsilon >0}

Aproximação intuitiva

A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser aprendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito pouco também.

Por exemplo, imaginemos a função: f ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x+1} e imaginando f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } (Definida nos reais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f ( 0 ) = 2.0 + 1 {\displaystyle f(0)=2.0+1} que nos dá: f ( 0 ) = 0 + 1 = 1 , {\displaystyle f(0)=0+1=1,} ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que se aproximem de 1, por exemplo:

Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f ( x ) = 2 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x+1} nos reais, calcular o limite da função f {\displaystyle f} quando x → 1. {\displaystyle x\to 1.} Temos então, neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f ( x ) {\displaystyle f(x)} descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222. Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveis

A noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não. A função distância entre os objectos da função, na definição formal anteriormente apresentada para uma variável, dada por | x − a | , {\displaystyle |x-a|,} não pode ser utilizada. Neste contexto, surge a necessidade de uma função distância. Nesse caso, a definição de limite é a seguinte:

Seja f {\displaystyle f} uma função do tipo:

D ⊆ R n → R {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } x ⟼ f ( x ) = z {\displaystyle x\longmapsto f(x)=z}

Em que x {\displaystyle x} é um vector com n {\displaystyle n} coordenadas e z {\displaystyle z} um número real. Se a {\displaystyle a} for um vector com n {\displaystyle n} coordenadas, então:

lim x → a f ( x ) = L ⇔ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : ( x ∈ D ∧ 0 < d ( x , a ) < δ ) ⟹ | f ( x ) − L | < ϵ {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L\Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left(x\in D\;\wedge 0<d(x,a)<\delta \right)\Longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon }

Em que d ( x , a ) = ‖ x − a ‖ {\displaystyle d(x,a)=\|x-a\|} é a função distância.

Exemplo

Uma função do tipo:

R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } ( x , y ) ⟼ f ( x , y ) = z {\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=z}

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade. Consequentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia o valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele seja independente do caminho tomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } ( x , y ) ⟼ f ( x , y ) = x y {\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)=xy}

o limite pode ser testado através de vários caminhos.

Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) = L {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L}

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades (de entre uma infinidade delas):

lim x → 0 f ( x , 0 ) = L {\displaystyle \lim _{x\to 0}f(x,0)=L}

Nesse caso o limite L é zero.

lim y → 0 f ( 0 , y ) = L {\displaystyle \lim _{y\to 0}f(0,y)=L}

Nesse caso, o limite L é também zero.

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto é sempre zero, conforme demonstraremos.

Vamos, então, provar que

lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y = 0 {\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}xy=0}

Ou seja, provar que

∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : ( ( x , y ) ∈ R 2 ∧ 0 < ‖ ( x , y ) − ( 0 , 0 ) ‖ < δ ) ⟹ | x y − 0 | < ϵ {\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<\|(x,y)-(0,0)\|<\delta \right)\Longrightarrow |xy-0|<\epsilon } ⇔ ∀ ϵ > 0 , ∃ δ > 0 : ( ( x , y ) ∈ R 2 ∧ 0 < x 2 + y 2 < δ ) ⟹ | x y | < ϵ {\displaystyle \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\exists \delta >0:\left((x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;\wedge 0<{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \right)\Longrightarrow |xy|<\epsilon }

Vamos procurar escrever δ {\displaystyle \delta } em função de ϵ . {\displaystyle \epsilon .}

x 2 + y 2 < δ ⇔ x 2 + y 2 < δ 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<\delta \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}} | x y | ≤ max { | x | , | y | } 2 ≤ x 2 + y 2 < δ 2 {\displaystyle |xy|\leq \max\{|x|,|y|\}^{2}\leq x^{2}+y^{2}<\delta ^{2}}

Se escolhermos δ = ϵ , {\displaystyle \delta ={\sqrt {\epsilon }},} então, pela segunda desigualdade, | x y | < δ 2 = ϵ , {\displaystyle |xy|<\delta ^{2}=\epsilon ,} o que prova o nosso limite.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

R 2 → R {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } ( x , y ) ⟼ f ( x , y ) = x y ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle (x,y)\longmapsto f(x,y)={xy \over (x^{2}+y^{2})}}

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equações paramétricas:

x = ( cos ⁡ α ) t {\displaystyle x=\left(\cos \alpha \right)t}

y = ( s e n α ) t {\displaystyle y=\left(\mathrm {sen} \,\alpha \right)t}

a função toma a forma

f ( x , y ) = cos ⁡ ( α ) s e n ( α ) ( cos ⁡ α ) 2 + ( s e n α ) 2 = s e n ( 2 α ) 2 {\displaystyle f(x,y)={\cos(\alpha )\mathrm {sen} \,(\alpha ) \over (\cos \alpha )^{2}+(\mathrm {sen} \,\alpha )^{2}}={\mathrm {sen} \,(2\alpha ) \over 2}}

Vê-se, então, que o valor do limite depende do ângulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.

Ver também

Referências

  1. a b Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise Vol.1 14 ed. : IMPA. ISBN 9788524401183 
  2. Anton, Howard (2007). Cálculo - Volume 1 8 ed. : Bookman. ISBN 9788560031634 
  3. a b Stewart, James. Cálculo vol. I. ISBN 978-85-221-0660-8. Ed. Cengage, 2009, pg. 98.
  4. STEWART, James. Cálculo, volume 2. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2007. 5ª edição. ISBN 85-211-0484-0. Página 900.