Notação em probabilidade e estatística

Teoria das probabilidades
Axiomas de probabilidade
Espaço de probabilidade Espaço amostral Evento primário Evento Variável aleatória Medida de probabilidade
Evento complementar Eventos mutuamente exclusivos Probabilidade conjunta Probabilidade marginal Probabilidade condicional
Independência Independência condicional Lei da probabilidade total Lei dos grandes números Teorema de Bayes Desigualdade de Boole
Diagrama de Venn Diagrama de árvore
v d e

Estatística
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v d e

Probabilidade e Estatística têm algumas convenções comumente usadas em favor de normatizar a notação matemática e símbolos matemáticos^[1].

• Variáveis aleatórias são comumente escritas em letras maiúsculas. Por exemplo, ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$ etc.
• Resultados particulares de uma variável aleatória são escritos na letra minúscula correspondente. Por exemplo, ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$ poderia ser uma amostra correspondente a variável aleatória ${\displaystyle X}$ e a probabilidade cumulativa é formalmente escrita ${\displaystyle P(X>x)}$ para diferenciar variável aleatória de resultado.
• A probabilidade é algumas vezes escrita ${\displaystyle \mathbb {P} }$ para distingui-la de outras funções e medidas ${\displaystyle P}$ e para evitar ter que definir "${\displaystyle P}$ é uma probabilidade". ${\displaystyle \mathbb {P} (A)}$ é a abreviação de ${\displaystyle P(\{\omega :X(\omega )\in A\})}$, onde ${\displaystyle \omega }$ é um evento e ${\displaystyle X(\omega )}$ uma variável aleatória correspondente.
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)}$ ou ${\displaystyle \mathbb {P} }$ indicam a probabilidade dos eventos A e B ocorrerem concomitantemente.
• ${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)}$ ou ${\displaystyle \mathbb {P} }$ indicam a probabilidade de ou o evento A ou o evento B ocorrerem ("ou" nesse caso significa um ou o outro ou os dois).
• σ-álgebras são usualmente escritas com letras de mão maiúsculas. Por exemplo, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ para o conjunto de conjuntos em que nós definimos a probabilidade ${\displaystyle P}$.
• Funções densidade de probabilidade (f.d.p.) e funções massa de probabilidade são denotadas por letras minúsculas. Por exemplo, ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle g(x)}$ etc.
• Funções de distribuição acumulada (f.d.a.) são denotadas por letras maiúsculas. Por exemplo, ${\displaystyle F(x)}$, ${\displaystyle G(x)}$ etc.
• Funções de sobrevivência ou funções de distribuição acumulada complementares são frequentemente denotadas colocando uma barra acima da letra da função. Por exemplo, ${\displaystyle {\overline {F}}(x)=1-F(x)}$
• Em particular, a f.d.p. para a distribuição normal padrão é denotada por ${\displaystyle \varphi (z)}$ e sua f.d.a. por ${\displaystyle \Phi (z)}$.
• Alguns operadores comuns:
  • ${\displaystyle E}$: valor esperado de ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle Var}$: variância de ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle Cov}$: covariância entre ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle X}$ é independente de ${\displaystyle Y}$ é frequentemente escrito ${\displaystyle X\perp Y}$ ou ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y}$, e ${\displaystyle X}$ é independente de ${\displaystyle Y}$ dado ${\displaystyle W}$ é frequentemente escrito ${\displaystyle X\perp \!\!\!\perp Y\,|\,W}$ ou ${\displaystyle X\perp Y\,|\,W}$
• ${\displaystyle \textstyle P(A\mid B)}$, a probabilidade a posteriori, é a probabilidade de ${\displaystyle \textstyle A}$ dado ${\displaystyle \textstyle B}$, isto é, ${\displaystyle \textstyle A}$ depois ${\displaystyle \textstyle B}$ é observada.

• Letras gregas (por exemplo, θ, β etc) são comumente usadas para denotar parâmetros desconhecidos (parâmetros populacionais).
• O símbolo ~ (til) denota "tem a distribuição de probabilidade de". Por exemplo, ${\displaystyle X}$ ~ ${\displaystyle N(0,1)}$.
• Colocando um acento circunflexo em cima de um parâmetro denota um estimador desse parâmetro. Por exemplo, ${\displaystyle {\widehat {\theta }}}$ é um estimador para ${\displaystyle \theta }$.
• A média aritmética de uma série de valores ${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$, ..., ${\displaystyle x_{n}}$ é frequentemente denotada colocando uma barra acima da letra. Por exemplo, ${\displaystyle {\bar {x}}}$, pronunciado como "xis barra".
• Alguns símbolos comumente usados para amostras são dados abaixo:
  • A média amostral: ${\displaystyle {\bar {x}}}$,
  • A variância amostral: ${\displaystyle s^{2}}$,
  • O desvio padrão amostral: ${\displaystyle s}$,
  • O coeficiente de correlação amostral: ${\displaystyle r}$,
  • O cumulante amostral: ${\displaystyle k_{r}}$.
• Alguns símbolos comumente usados para parâmetros populacionais são dados abaixo:
  • A média da população: ${\displaystyle \mu }$,
  • A variância da população: ${\displaystyle \sigma ^{2}}$,
  • O desvio padrão da população: ${\displaystyle \sigma }$,
  • A correlação da população: ${\displaystyle \rho }$,
  • O cumulante da população: ${\displaystyle \kappa _{r}}$.

O valor crítico ${\displaystyle \alpha }$ de uma distribuição de probabilidade é o valor excedente com probabilidade ${\displaystyle \alpha }$, isto é, o valor ${\displaystyle x_{\alpha }}$ tal que ${\displaystyle F(x_{\alpha })=1-\alpha }$, onde ${\displaystyle F}$ é a função distribuição de probabilidade cumulativa. Existem notações padrões para valores críticos de algumas distribuições comuns em estatística:

• ${\displaystyle z_{\alpha }}$ ou ${\displaystyle z(\alpha )}$ para a distribuição normal padrão.
• ${\displaystyle t_{\alpha }}$ ou ${\displaystyle t(\alpha )}$ para a distribuição t-Student com ${\displaystyle v}$ graus de liberdade.
• ${\displaystyle {\chi _{\alpha ,\nu }}^{2}}$ ou ${\displaystyle {\chi }^{2}(\alpha ,\nu )}$ para a distribuição qui-quadrado com ${\displaystyle v}$ graus de liberdade.
• ${\displaystyle F_{\alpha ,\nu _{1},\nu _{2}}}$ or ${\displaystyle F(\alpha ,v_{1},v_{2})}$ para a distribuição F com ${\displaystyle v_{1}}$ e ${\displaystyle v_{2}}$ graus de liberdade.

• Matrizes são usualmente denotadas por uma letra maiúscula em negrito. Por exemplo, A.
• Vetores coluna são usualmente denotados por uma letra minúscula. Por exemplo, x.
• O operador transposto é denotado por um T sobrescrito (por exemplo, A^T) ou um apóstrofo (por exemplo, A′).
• Um vetor linha é escrito como o transposto de um vetor coluna. Por exemplo, x^T ou x′.

Abreviações comuns incluem:

• f.d.a. função distribuição acumulada
• f.m.a. função massa de probabilidade
• g.l. graus de liberdade (também ${\displaystyle \nu }$)
• i.i.d. independente e identicamente distribuída.
• f.d.p. função densidade de probabilidade
• f.m.p função massa de probabilidade
• v.a. variável aleatória

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