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Uma progressão geométrica (abreviada como P.G.) é uma sequência numérica na qual cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. A razão é indicada geralmente pela letra q {\displaystyle q} (inicial da palavra "quociente").
Alguns exemplos de progressão geométrica:
Costuma-se denotar por a n {\displaystyle a_{n}}
o n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a 1 {\displaystyle a_{1}} e sua razão q.A sucessão dos termos é obtida por recursão:
Podemos demonstrar por indução matemática que:
a n = a 1 . q n − 1 . {\displaystyle a_{n}=a_{1}.q^{n-1}.}De modo geral, o n-ésimo termo pode ser calculado a partir do m-ésimo termo simplesmente por:
a n = a m q n − m , n , m ∈ Z {\displaystyle a_{n}=a_{m}\ q^{n-m},~~n,m\in \mathbb {Z} }A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por
S n = ∑ i = 1 n a 1 q i − 1 = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{1}q^{i-1}=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2}+\ldots +a_{1}q^{n-1}.}Caso q ≠ 1 , {\displaystyle q\neq 1,}
S n = a 1 ( 1 − q n ) 1 − q {\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(1-q^{n})}{1-q}}} a soma pode ser descrita pela seguinte fórmula:Essa fórmula pode ser explicada dessa maneira:
S n = a 1 + a 1 q + … + a 1 q n − 1 . {\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{1}\ q+\ldots +a_{1}\ q^{n-1}.}Multiplica-se pela razão q : {\displaystyle q:}
q S n = a 1 q + a 1 q 2 + … + a 1 q n . {\displaystyle q\ S_{n}=a_{1}\ q+a_{1}\ q^{2}+\ldots +a_{1}\ q^{n}.}Subtrai-se a primeira da segunda (qSn - Sn), pois qSn >= Sn, se fizer o contrário irá sempre gerar um valor negativo. Cancelam-se os termos repetidos:
q S n − S n = a 1 q n − a 1 , {\displaystyle q\ S_{n}-S_{n}=a_{1}\ q^{n}-a_{1},} o que é equivalente (através de fatoração por fator comum) a ( q − 1 ) S n = a 1 ( q n − 1 ) . {\displaystyle \left(q-1\right)S_{n}=a_{1}\left(q^{n}-1\right).}Divide-se ambos os termos por ( q − 1 ) ≠ 0 {\displaystyle (q-1)\neq 0}
e o resultado segue.A soma dos termos de uma progressão geométrica situados no intervalo fechado de a m {\displaystyle a_{m}} até a n {\displaystyle a_{n}} é calculada pela seguinte fórmula:
S ( m , n ) = a m ( q n − m + 1 − 1 ) q − 1 . {\displaystyle S_{(m,n)}={\frac {a_{m}(q^{n-m+1}-1)}{q-1}}.}A soma dos infinitos termos de uma P.G. é chamada série geométrica e está bem definida quando | q | < 1. {\displaystyle |q|<1.} Sua soma é:
S ∞ = ∑ n = 1 ∞ a 1 q n − 1 = a 1 1 − q . {\displaystyle S_{\infty }=\sum _{n=1}^{\infty }a_{1}q^{n-1}={\frac {a_{1}}{1-q}}.}Se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1}
S ∞ = { a 1 1 − q , | q | < 1 + ∞ , q ≥ 1 , a 1 > 0 − ∞ , q ≥ 1 , a 1 < 0 0 , a 1 = 0. {\displaystyle S_{\infty }=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {a_{1}}{1-q}},&|q|<1\\+\infty ,&q\geq 1,a_{1}>0\\-\infty ,&q\geq 1,a_{1}<0\\0,&a_{1}=0.\end{array}}\right.} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} então sua soma é mais infinito e se q ≥ 1 {\displaystyle q\geq 1} e a 1 < 0 , {\displaystyle a_{1}<0,} sua soma é menos infinito.Obs.: Esta tabela não esgota todos os casos. Ver o caso q ≤ − 1 , {\displaystyle q\leq -1,} complexo. O tratamento destas séries pode ser visto no artigo sobre séries divergentes.
por exemplo. q {\displaystyle q} pode ser um númeroO produto dos termos de uma progressão geométrica, a partir do primeiro, é dada por
P n = a 1 n . q n . ( n − 1 ) 2 , {\displaystyle P_{n}=a_{1}^{n}.q^{\frac {n.(n-1)}{2}},} e também pode ser determinado sem o conhecimento da razão: P n = ∏ i = 1 n a i = ( a 1 × a n ) n 2 , {\displaystyle P_{n}=\prod _{i=1}^{n}a_{i}=(a_{1}\times a_{n})^{\frac {n}{2}},} sendo similar à forma do somatório de uma progressão aritmética.Uma progressão geométrica constante é toda P.G em que todos os termos são iguais, sendo que para isso sua razão q {\displaystyle q} 1.
deve ser igual aExemplos de progressões geométricas constantes :
Uma progressão geométrica crescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 > 0 {\displaystyle a_{1}>0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 < 0. {\displaystyle a_{1}<0.}
é superior aExemplos de progressões geométricas crescentes:
Uma progressão geométrica decrescente é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é inferior a 0 ou quando sua razão q {\displaystyle q} está entre 0 e 1 e seu primeiro termo a 1 {\displaystyle a_{1}} é superior a 0. Obedecendo assim a ordem: q > 1 {\displaystyle q>1} e a 1 < 0 {\displaystyle a_{1}<0} ou 0 < q < 1 {\displaystyle 0<q<1} e a 1 > 0. {\displaystyle a_{1}>0.}
é superior aExemplos de progressões geométricas decrescentes:
Uma progressão geométrica oscilante é toda P.G em que a razão q {\displaystyle q} número negativo, fazendo com que a sequência numérica intercale entre números positivos e negativos. Sendo assim, obedece a ordem: q < 0. {\displaystyle q<0.}
é umExemplos de progressões geométricas oscilantes:
Abaixo temos uma tabela na qual o termo a n = 1 = 2 {\displaystyle a_{n=1}=2}
e o termo a n = 2 = 6 , {\displaystyle a_{n=2}=6,} e assim sucessivamente em progressão geométrica.n {\displaystyle n} | a {\displaystyle a} |
---|---|
1 | 2 |
2 | 6 |
3 | 18 |
4 | 54 |
5 | 162 |
6 | 486 |
7 | 1.458 |
8 | 4.374 |
9 | 13.122 |
10 | 39.366 |
11 | 118.098 |
12 | 354.294 |
13 | 1.062.882 |
14 | 3.188.646 |
15 | 9.565.938 |
16 | 28.697.814 |
17 | 86.093.442 |
18 | 258.280.326 |
19 | 774.840.978 |
20 | 2.324.522.934 |
É possível a obtenção do enésimo termo da progressão geométrica dado dois outros termos quaisquer, conforme explicações:
Inicialmente é necessário obter-se o quociente( q {\displaystyle q}
q = P n P m n − m {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt{\frac {P_{n}}{P_{m}}}}\end{aligned}}} ).Após obtido o quociente( q {\displaystyle q}
P e = P n q ( n − e ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {Pn}{{q}^{(n-e)}}}\end{aligned}}} ) o enésimo( e {\displaystyle e} ) termo procurado se encontra a partir da sua distância em relação ao termo n , {\displaystyle n,} ou seja, ( n − e ) . {\displaystyle (n-e).}Exemplo ilustrativo
Dado que uma Progressão Geométrica tem o 5º termo( m {\displaystyle m}
q = 156.250 1.250 8 − 5 q = 125 3 q = 5 {\displaystyle {\begin{aligned}q&={\sqrt{\frac {156.250}{1.250}}}\\q&={\sqrt{125}}\\q&=5\end{aligned}}} ) igual a 1.250 e o 8º termo( n {\displaystyle n} ) igual a 156.250, qual é o valor do 2º termo( e {\displaystyle e} )? Agora usando o quociente ( q {\displaystyle q} ) na fórmula do enésimo termo ( P e {\displaystyle P_{e}} ). P e = 156.250 5 ( 8 − 2 ) P e = 156.250 5 6 P e = 156.250 15.625 P e = 10 {\displaystyle {\begin{aligned}P_{e}&={\frac {156.250}{5^{(8-2)}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{5^{6}}}\\P_{e}&={\frac {156.250}{15.625}}\\P_{e}&=10\end{aligned}}} O 2º termo da PG dada é igual a 10.Séries e Sequência | |||||
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Sequência geométrica |
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Sequência hipergeométrica | |||||
Sequência de inteiros | |||||
Outras sequências |
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