Adição

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Adição é uma das operações básicas da aritmética. Na sua forma mais simples, a adição combina dois números em um único número, denominado soma, total ou resultado. Adicionar mais números corresponde a repetir a operação. Por extensão, a adição de zero, um ou uma quantidade infinita de números pode ser definida.

Pode também ser uma operação geométrica: a partir de dois segmentos de reta dados é possível determinar um terceiro segmento cujo comprimento seja igual à soma dos dois iniciais.

Propriedades importantes

No conjunto dos números reais a adição possui as seguintes propriedades:

Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado da operação. Assim, se 2 + 3 = 5, então 3 + 2 = 5;
Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado. Assim, se (2 + 3) + 1 = 6, então 2 + (3 + 1) = 6;
Distributiva: Quando estamos multiplicando por um número, uma soma composta por duas parcelas, podemos primeiro efetuar a soma e depois a multiplicação, ou multiplicar cada uma das parcelas pelo referido valor e depois efetuar a soma dos resultados. Por exemplo, 2 ∗ ( 3 + 4 ) = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 4 {\displaystyle 2*(3+4)=2*3+2*4} $2*(3+4)=2*3+2*4$ ;
Elemento neutro: A parcela 0 (zero) não altera o resultado das demais parcelas. O zero é denominado como o "elemento neutro" da adição. Assim, se 2 + 3 = 5, então 2 + 3 + 0 = 5;
Fechamento: A soma de dois números reais será sempre um número real.

Notação

Símbolo matemático da soma.

Se os termos, são escritos individualmente, então a adição é escrita usando-se o sinal mais, ou chus (em português arcaico) ("+"). Assim, a soma de 1, 2 e 4 é escrita como 1 + 2 + 4 = 7. Se os termos da soma não são escritos individualmente, então podemos usar reticências (...) para marcar os termos que foram omitidos. Assim, a soma de todos os números naturais de 1 a 100 é escrita como 1 + 2 + … + 99 + 100.

De forma alternativa, a soma pode ser representada pelo símbolo de somatório, que é a letra grega Sigma maiúscula. Isso é definido como:

∑ i = m n x i = x m + x m + 1 + x m + 2 + ⋯ + x n − 1 + x n . {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.}

\sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\dots +x_{n-1}+x_{n}.

O subscrito i fornece o símbolo para uma variável, i. Aqui, i representa o índice do somatório; m é o limite inferior do somatório, e n é o limite superior do somatório. Assim, por exemplo:

∑ k = 1 5 k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5. {\displaystyle \sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.}

\sum _{k=1}^{5}k=1+2+3+4+5.

Podemos também considerar somas com uma quantidade infinita de termos, chamadas de séries infinitas. A diferença na notação seria o uso do símbolo de infinito (∞) no lugar dos limites inferior e/ou superior. A soma de tais séries é definida como o limite da soma dos n primeiros termos quando n cresce sem limites. Isto é:

∑ i = m ∞ x i := lim n → ∞ ∑ i = m n x i . {\displaystyle \sum _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}x_{i}.}

\sum _{i=m}^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m}^{n}x_{i}.

Podemos substituir de forma similar m por infinito negativo, e

∑ i = − ∞ ∞ x i := lim n → ∞ ∑ i = − n m x i + lim n → ∞ ∑ i = m + 1 n x i , {\displaystyle \sum _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=-n}^{m}x_{i}+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m+1}^{n}x_{i},}

\sum _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=-n}^{m}x_{i}+\lim _{n\to \infty }\sum _{i=m+1}^{n}x_{i},

para algum m, desde que ambos os limites existam.

Relações com outras operações e constantes

É possível somar menos que 2 números:

Se você somar o termo único x, então a soma é x;
Se você somar zero termos, então a soma é zero, porque zero é o elemento neutro da adição. Isso é conhecido como soma vazia.

Esses casos degenerados são normalmente usados apenas quando a notação de soma dá um resultado degenerado num caso especial. Por exemplo, se m = n na definição acima, então há apenas um termo na soma; se m = n + 1, então não há nenhum.

Muitas outras operações podem ser pensadas como somas generalizadas. Se um termo único x aparece numa soma n vezes, então a soma é nx, o resultado de uma multiplicação. Se n não é um número natural, então a multiplicação ainda pode fazer sentido, de modo que temos uma espécie de noção de somar um termo, digamos, duas vezes e meia.

Um caso especial é a multiplicação por -1, que leva ao conceito de inverso aditivo, e a subtração, a operação inversa da adição.

A versão mais geral destas ideias é a combinação linear, em que qualquer quantidade de termos é incluída em uma soma generalizada qualquer número de vezes.

Somas úteis

As identidades a seguir são bastante úteis:

∑ i = 1 n i = n ( n + 1 ) 2 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}}

\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}

(ver séries aritméticas);

∑ i = 1 n ( 2 i − 1 ) = n 2 ; {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2};}

\sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2};

∑ i = 0 n i 2 = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 ; {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};}

\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}};

∑ i = 0 n i 3 = ( n ( n + 1 ) 2 ) 2 ; {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2};}

\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2};

∑ i = N 1 N 2 x i = x N 2 + 1 − x N 1 x − 1 {\displaystyle \sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={\frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}}

\sum _{i=N_{1}}^{N_{2}}x^{i}={\frac {x^{N_{2}+1}-x^{N_{1}}}{x-1}}

(ver séries geométricas); ∑ i = 0 n x i = x n + 1 − 1 x − 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}

\sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}

(caso especial do anterior em que N 1 = 0 {\displaystyle {N_{1}}=0}

{N_{1}}=0

) ∑ i = 0 ∞ k x i = k 1 − x ; | x | < 1 {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }kx^{i}={\frac {k}{1-x}};|x|<1}

\sum _{i=0}^{\infty }kx^{i}={\frac {k}{1-x}};|x|<1

(caso especial do anterior, lim n → ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }}

\lim _{n\to \infty }

);

∑ i = 0 n ( n i ) = 2 n {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}

\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}

(ver coeficiente binomial);

∑ i = 0 n − 1 ( i k ) = ( n k + 1 ) . {\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}.}

\sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}.

Em geral, a soma das n primeiras potências de m é

∑ i = 0 n i m = ( n + 1 ) m + 1 m + 1 + ∑ k = 1 m B k m − k + 1 ( m k ) ( n + 1 ) m − k + 1 , {\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{m}={\frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}{m \choose k}(n+1)^{m-k+1},}

\sum _{i=0}^{n}i^{m}={\frac {(n+1)^{m+1}}{m+1}}+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{m-k+1}}{m \choose k}(n+1)^{m-k+1},

onde B k {\displaystyle B_{k}} $B_{k}$ é o k-ésimo número de Bernoulli.

As seguintes expressões são aproximações úteis (usando notação teta):

∑ i = 1 n i c = Θ ( n c + 1 ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})}

\sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})

para toda constante real c maior que -1;

∑ i = 1 n 1 i = Θ ( log ⁡ n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log {n})}

\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log {n})

∑ i = 1 n c i = Θ ( c n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})\,}

\sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})\,

para toda constante real c maior que 1;

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c = Θ ( n ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})}

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})

para toda constante real c maior ou igual a zero;

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d = Θ ( n d + 1 ⋅ log ⁡ ( n ) c ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})

para todas constantes reais não-negativas c e d;

∑ i = 1 n log ⁡ ( i ) c ⋅ i d ⋅ b i = Θ ( n d ⋅ log ⁡ ( n ) c ⋅ b n ) {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}

\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})

para todas constantes reais b > 1, c, d.

Aproximação por integrais

Muitas aproximações podem ser obtidas pela seguinte conexão entre somas e integrais, válida para qualquer função crescente f:

∫ s = a − 1 b f ( s ) d s ≤ ∑ i = a b f ( i ) ≤ ∫ s = a b + 1 f ( s ) d s . {\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.}

\int _{s=a-1}^{b}f(s)\,ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\,ds.

Para aproximações mais gerais, ver a fórmula de Euler-Maclaurin.

Em música

A adição também é usada na teoria musical dos conjuntos. George Perle fornece o exemplo seguinte:

"dó-mi, ré-fá♯, mi♭-sol, são instâncias diferentes do mesmo intervalo… o outro tipo de identidade… está relacionado a eixos de simetria. Dó-mi pertence à família de díades simetricamente relacionadas, como segue:"

ré		ré♯		mi		fá	fá♯		sol		sol♯
ré		dó♯		dó		si	lá♯		lá		sol♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pela classe de alturas.

Assim, além de serem parte da família de intervalos-4, dó-mi também é parte da família soma-2 (com G♯ igual a 0).

A linha de tonalidades para a Lyric Suite de Alban Berg, { 0 , 11 , 7 , 4 , 2 , 9 , 3 , 8 , 10 , 1 , 5 , 6 } {\displaystyle \{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}} $\{0,11,7,4,2,9,3,8,10,1,5,6\}$ , é uma série de seis díades, todas somando 11. Se a linha é rotacionada e invertida, ela se torna { 0 , 6 , 5 , 1 , … } {\displaystyle \{0,6,5,1,\dots \}} $\{0,6,5,1,\dots \}$ , em que todas as díades somam 6.

Díades sucessivas da linha de tonalidades de Lyric Suite, todas somando 11

dó		sol		ré		ré♯		lá♯		mi♯
si		mi		lá		sol♯		dó♯		fá♯

Eixos de alturas em itálico, o eixo é determinado pelas díades (intervalo 1).

Ver também

Ligações externas

Addition

Referências

↑ a b c d e f Novaes, Jean Carlos. «Adição e Suas Propriedades Fundamentais na Matemática». Matemática Básica. Consultado em 9 de junho de 2018
↑ Silva, Luiz Paulo Moreira. «Adição». Brasil Escola. Consultado em 9 de junho de 2018

Aritmética elementar

Adição +

Subtração −

Multiplicação ×

Divisão ÷

Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Addition».