Teorema de Clairaut-Schwarz

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Na análise matemática, o teorema de Clairaut-Schwarz é uma condição suficiente para a igualdade das derivadas parciais cruzadas de uma função de várias variáveis. O teorema estabelece que, se as derivadas parciais cruzadas existem e são contínuas, então são iguais. O nome do teorema é uma referência aos não-contemporâneos Alexis Claude de Clairaut e Hermann Amandus Schwarz.

Enunciado

Enunciado geral

Seja D ⊆ R n {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{n}} $D\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ um conjunto aberto e f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } $f:D\to \mathbb {R}$ um campo escalar de classe C 2 {\displaystyle C^{2}} $C^{2}$ . Então, para qualquer ponto ( d 1 , d 2 , … , d n ) ∈ D {\displaystyle (d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})\in D} $(d_{1},d_{2},\dots ,d_{n})\in D$ :

∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ( d 1 , … , d n ) = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i ( d 1 , … , d n ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(d_{1},\dots ,d_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(d_{1},\dots ,d_{n})} ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(d_{1},\dots ,d_{n})={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}(d_{1},\dots ,d_{n})$

Caso particular a duas variáveis

Seja D ⊆ R 2 {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}} $D\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ um conjunto aberto e f : D → R {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} } $f:D\to \mathbb {R}$ um campo escalar de classe C 2 {\displaystyle C^{2}} $C^{2}$ . Então, para qualquer ponto ( x , y ) ∈ D {\displaystyle (x,y)\in D} $(x,y)\in D$ :

∂ 2 f ∂ x ∂ y ( x , y ) = ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( x , y ) {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)} ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}(x,y)={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}(x,y)$

Exemplos de aplicações

Aplicando o teorema no operador del de alta ordem se obtêm que:

∇ n ( ∇ m f ) = ∇ m ( ∇ n f ) {\displaystyle \nabla \!_{n}\left(\nabla \!_{m}f\right)=\nabla \!_{m}\left(\nabla \!_{n}f\right)}

\nabla \!_{n}\left(\nabla \!_{m}f\right)=\nabla \!_{m}\left(\nabla \!_{n}f\right)

Segundo Stewart, 2007, o teorema de Clairaut-Schwarz é válido se ambas derivadas parciais mistas forem contínuas em seus domínios.

Seu análogo em integrais duplas/iteradas é o Teorema de Fubini.

Referências

↑ Stewart, James, Cálculo Vol. 2,5ª ed, 2007, pp.914 .