Teorema de Green–Tao

Na matemática, o teorema de Green-Tao, demonstrado por Ben Green e Terence Tao em 2004,^[1] afirma que a sequência de números primos contém progressões aritméticas arbitrariamente longas. Em outras palavras, para cada número natural k, existe um progressão aritmética formada por k números primos. O Teorema de Green-Tao é um caso particular da conjectura de Erdős sobre progressões aritméticas.

Em 2006, Tao e Tamar Ziegler generalizaram o resultado de forma a ser válido para progressões polinomiais.^[2] Mais precisamente, dados k polinômios de coeficientes inteiros, ${\displaystyle \{P_{j}\}_{j=1}^{k}\,}$, tais que ${\displaystyle P_{j}(0)=0\,}$, existem infinitos pares de inteiros ${\displaystyle (x,m)\,}$ tais que ${\displaystyle x+P_{j}(m)\,}$ são números primos.

Dado que estes teoremas são de existência pura, eles não trazem qualquer informação sobre como encontrar tais seqüências. Em 18 de janeiro de 2007, Jaroslaw Wroblewski encontrou a primeira seqüência aritmética de primos com 24 termos:^[3]

468395662504823 + 205619 × 23# × n, for n = 0 to 23 (23# = 223092870).

• Teorema de Dirichlet sobre progressões aritméticas

Referências

• «Artigo no MathWorld news sobre a demonstração» 

• Portal da matemática