Em álgebra linear, o teorema de Laplace fornece uma expressão para o determinante de uma matriz quadrada qualquer em termos de determinantes de matrizes de ordem inferior.[1]
Enunciado do teorema
O determinante de uma matriz
é igual à soma algébrica dos produtos dos elementos de uma linha (ou coluna) pelos respectivos cofatores (ou complementos algébricos).
O cofator do elemento
de uma matriz é o escalar
definido por [2]
em que
representa a matriz que se obtém da matriz original pela eliminação da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Tem-se então que
ou
conforme seja escolhida a i-ésima linha ou a j-ésima coluna.
Aplicação
O teorema de Laplace é normalmente utilizado para o cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior ou igual a 4. Ele também se poder aplicar a matrizes de ordem inferior, embora neste caso o cálculo do determinante seja usualmente mais simples, como o uso da regra de Sarrus para matrizes de ordem 3, por exemplo. Na prática, o que se faz é passar do cálculo do determinante de uma matriz de ordem
para o cálculo de
determinantes de matrizes de ordem
. O teorema pode ser aplicado sucessivamente até se obterem matrizes de ordem 2 ou 3, cujo determinante é mais simples de calcular.
Pode-se selecionar indiferentemente qualquer linha ou coluna da matriz para aplicar o teorema. No entanto, para simplificar os cálculos, é usual escolher a linha (ou coluna) que apresente mais zeros, visto que o método consiste em multiplicar cada elemento da linha (ou coluna) pelo seu cofator. Assim, no caso de o elemento ser 0, o produto é nulo, não havendo a necessidade de se calcular o cofator.
Exemplo
Considere-se a matriz
O determinante desta matriz pode ser calculado aplicando o teorema de Laplace à 1ª linha:
O mesmo resultado pode ser obtido aplicando o teorema à 2ª coluna:
Demonstração do Teorema
Vamos usar o princípio da indução finita [3], provando, inicialmente, que o teorema é válido para matrizes de ordem
. Considerando
e efetuando o desenvolvimento pela 1ª linha:
De forma análoga, os desenvolvimentos pela 2ª linha, 1ª coluna e 2ª coluna resultam em
, de modo que a propriedade é válida para
.
Na sequência, admitamos que a propriedade seja válida para determinantes de ordem
e provemos que ela também é válida para determinantes de ordem
. Seja
uma matriz de ordem
. Os primeiros menores (menores complementares) de
são determinantes de ordem
, os quais vamos denotar por
, sendo
a linha e
a coluna eliminadas da matriz
. Vamos usar o símbolo
para representar o menor que se obtém pela supressão das linhas
e
e das colunas
e
da matriz
. Assim,
é um determinante de ordem
.
Fixamos a coluna
da matriz
e determinamos
Desenvolvendo os determinantes
pela 1ª coluna, temos:
Na expressão de
, acima, tomamos as parcelas que contém
:
as parcelas que contém
:
as parcelas que contém
:
simplificadas com o uso da hipótese de indução. Prosseguimos da mesma forma até obtermos as parcelas que contêm
, de modo que:
Isso prova que
, isto é, o resultado vale para qualquer coluna
,
. Com raciocínio análogo podemos provar que a propriedade é válida para qualquer linha
e com raciocínios semelhantes podemos provar que ela é válida para a 1ª linha e para a 1ª coluna, concluindo que o teorema é válido para matrizes de ordem
.
Complexidade assintótica
O teorema de Laplace não é computacionalmente eficiente para calcular determinantes. Sua complexidade no tempo é de
, não sendo indicado para situações práticas.[4][5]
Utilizando a triangularização de matrizes, é possível escrever um algoritmo capaz de calcular determinantes em tempo
,[6] que é mais eficiente. O algoritmo é similar ao método de Eliminação de Gauss.
Referências
Bibliografia