Teste da integral

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O teste da integral (português brasileiro) ou critério do integral (português europeu) é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.

Enunciado

Seja ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} uma série de números positivos com f ( x ) : {\displaystyle x\in }

integrando no intervalo, temos:

a n + 1 ≤ ∫ n n + 1 f ( x ) d x ≤ a n {\displaystyle a_{n+1}\leq \int _{n}^{n+1}f(x)dx\leq a_{n}}

Somando até N {\displaystyle N} :

∑ n = 1 N a n + 1 ≤ ∫ 1 N + 1 f ( x ) d x ≤ ∑ n = 1 N a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n+1}\leq \int _{1}^{N+1}f(x)dx\leq \sum _{n=1}^{N}a_{n}}

Agora basta observar que f ( x ) ≥ 0 {\displaystyle f(x)\geq 0} implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.

O melhor enunciado

O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!

• É frequente encontrarmos enunciados que exigem, para além da positividade e da monotonia decrescente, que a função seja contínua, talvez a pensar numa condição de integrabilidade, mas as funções monótonas num intervalo limitado e fechado são limitadas nesse intervalo e portanto são integráveis, pelo que a continuidade não é, de todo, necessária.
  As demonstrações mais conhecidas, como a que se encontra acima, não fazem qualquer referência à condição de integrabilidade (nós podemos dar estas demonstrações abreviadas aos alunos, mas não podemos deixar de os sensibilizar para o facto de elas não estarem completas).
• Pode mostrar-se que a positividade também não é necessária, pois as funções monótonas têm sempre limite - se a função é decrescente e o limite é nulo então ela é necessariamente positiva e se o limite não é nulo, falham as condições necessárias de convergência duma série e de um integral impróprio.
• Também a exigência da função ter que ser decrescente não é necessária, pois são da mesma natureza as séries e os integrais com f ou com -f.

Em breve copiarei para aqui a demonstração completa de Jaime Campos Ferreira. Jmegsalazar 23h57min de 9 de fevereiro de 2021 (UTC)

Exemplo

Considera a Série de Dirichlet com expoente α > 1 {\displaystyle \alpha >1} :

∑ n = 1 ∞ 1 n α {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{\alpha }}}}

e considere a função:

f ( x ) = 1 x α {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{\alpha }}}}

é sabido que:

∫ 1 N f ( x ) d x = ∫ 1 N x − α = 1 − N ( 1 − α ) α − 1 → 1 α − 1 , N → ∞ {\displaystyle \int _{1}^{N}f(x)dx=\int _{1}^{N}x^{-\alpha }={\frac {1-N^{(1-\alpha )}}{\alpha -1}}\to {\frac {1}{\alpha -1}},N\to \infty }

Portanto, tal série converge.