A Teoria dos Jogos em Matemática Aplicada

A Teoria dos Jogos em Matemática Aplicada

A teoria dos jogos é uma área da matemática aplicada que estuda situações de conflito ou de cooperação entre duas ou mais pessoas (ou empresas, países, etc.). Ela nasceu da necessidade de se entender melhor as estratégias e as consequências de se tomar decisões em contextos em que os resultados dependem não apenas das ações próprias, mas também das ações dos outros.

As origens da teoria dos jogos podem ser traçadas até a obra do matemático francês Antoine Augustin Cournot, que em 1838 publicou um livro intitulado "Investigação sobre os Princípios Matemáticos da Teoria da Riqueza". Nesse livro, Cournot analisava a interação entre empresas em um mercado oligopolístico, isto é, em que poucas empresas dominam a oferta de um determinado produto ou serviço.

No entanto, a teoria dos jogos como a conhecemos hoje só foi formalizada no século XX, graças aos trabalhos de matemáticos como John von Neumann e Oskar Morgenstern. Eles publicaram em 1944 o livro "Theory of Games and Economic Behavior" ("Teoria dos jogos e comportamento econômico", em português), que é considerado o marco inicial da teoria dos jogos moderna.

Desde então, a teoria dos jogos tem sido aplicada em diversos campos, como economia, ciência política, psicologia, biologia, engenharia, entre outros. Isso ocorre porque, em muitas situações da vida real, as decisões que tomamos dependem de como as outras pessoas ao nosso redor vão reagir.

Um exemplo simples de jogo é o jogo da velha. Duas pessoas jogam alternadamente, cada uma escolhendo uma das nove casas vazias do tabuleiro. O objetivo é conseguir uma linha com três símbolos iguais (X ou O). Para vencer, é necessário antecipar o movimento do outro jogador e escolher a melhor jogada possível em cada momento.

Esse jogo é bastante simples, mas muitos outros jogos podem ser mais complexos, envolvendo mais jogadores, mais ações possíveis e mais incertezas quanto às escolhas dos outros. A teoria dos jogos permite modelar essas situações e analisá-las com rigor matemático.

Por exemplo, imagine que duas empresas competem entre si em um mercado. Cada uma pode escolher um dos preços A ou B para seu produto. O lucro de cada empresa depende tanto do preço que ela escolhe quanto do preço escolhido pela concorrente. Um jogo como esse pode ser modelado como uma matriz, em que cada célula representa o lucro de cada empresa dado as escolhas dos preços.

A matriz abaixo mostra um exemplo desse jogo. Cada número na célula (i,j) corresponde ao lucro da empresa 1 (linha) e da empresa 2 (coluna), respectivamente, quando a escolha de preço da empresa 1 é i e da empresa 2 é j.

| | A | B |
|---|---|---|
| A | 1,-1 | -1,1 |
| B | -2,2 | 2,-2 |

A matriz mostra que se ambas as empresas escolherem o preço A, cada uma terá lucro 1 e prejuízo 1; se ambas escolherem o preço B, a mesma coisa acontece; se uma escolher A e a outra escolher B, a primeira terá prejuízo 2 e a segunda terá lucro 2; e se uma escolher B e a outra escolher A, a primeira terá lucro 2 e a segunda terá prejuízo 2.

Com essa matriz, podemos calcular qual a melhor estratégia para cada empresa. Isso envolve conceitos como estratégia dominante, que é aquela que é sempre melhor do que qualquer outra, independentemente das escolhas dos outros jogadores, e equilíbrio de Nash, que é uma situação em que nenhum jogador tem incentivo para mudar sua escolha, dada a escolha dos outros jogadores.

No exemplo acima, a melhor estratégia para a empresa 1 é escolher o preço B, independentemente do que a empresa 2 escolher, pois assim ela tem a garantia de pelo menos 2 de lucro. A empresa 2 também deve escolher o preço B, pois essa é a única escolha que garante algum lucro. Portanto, o equilíbrio de Nash desse jogo é (B,B).

É importante notar que a teoria dos jogos não fornece respostas prontas para todos os problemas de tomada de decisão. Na verdade, muitas vezes o que ela mostra é que não há uma única resposta "certa", mas sim diversas respostas possíveis, cada uma com suas vantagens e desvantagens. Cabe então aos jogadores decidir qual é a melhor estratégia para seus interesses.

Além disso, a teoria dos jogos é aplicável não apenas a situações de conflito, mas também a situações de cooperação. Nesse caso, a ideia é que os jogadores podem obter um benefício maior ao colaborar do que ao competir. Um exemplo é o jogo do dilema do prisioneiro. Nesse jogo, dois suspeitos de um crime são presos e interrogados separadamente. Cada um tem a opção de trair o outro, confessando o crime e delatando o cúmplice, ou de se manter calado. Se ambos se mantêm calados, cada um recebe uma pena leve; se ambos confessam, cada um recebe uma pena severa; se um confessa e o outro se mantém calado, o que confessa é beneficiado e o que se mantém calado é prejudicado.

Esse jogo tem um equilíbrio de Nash em que ambos os jogadores confessam, uma vez que essa é a melhor resposta para cada um, dado o que o outro jogador está fazendo. No entanto, se os jogadores pudessem se comunicar e combinar de se manterem calados, ambos poderiam receber penas leves, o que seria melhor para ambos.

De fato, muitas vezes a cooperação é a melhor estratégia a longo prazo, pois ela permite construir relações de confiança e colaboração que podem trazer benefícios mútuos. Isso vale não só para situações sociais, mas também para situações econômicas, em que empresas podem se beneficiar mais colaborando do que competindo.

Por tudo isso, a teoria dos jogos é uma área de estudo fascinante e útil, que nos ajuda a entender melhor como as pessoas tomam decisões em contextos complexos e como podemos encontrar soluções que sejam benéficas para todos os envolvidos. Vale a pena conhecer mais sobre ela e aplicá-la em situações cotidianas.