Lei dos cossenos

A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos A ^ , B ^ {\displaystyle {\widehat {A}},{\widehat {B}}} ${\widehat {A}},{\widehat {B}}$ e C ^ , {\displaystyle {\widehat {C}},} ${\widehat {C}},$ com medidas respectivamente a , b {\displaystyle a,b} $a,b$ e c , {\displaystyle c,} $c,$ valem as relações:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b ⋅ c ⋅ c o s A ^ {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a ⋅ c ⋅ c o s B ^ {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b ⋅ c o s C ^ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!

Demonstração

A seguir algumas maneiras de demonstrar a lei dos cossenos:

Forma Geométrica

Considerando a figura, podemos observar 3 triângulos:

A B C , B C D , B A D {\displaystyle ABC,BCD,BAD\,\!}

ABC,BCD,BAD\,\!

Destes, pode-se extrair as seguintes relações:

b = n + m {\displaystyle b=n+m\,\!}

b=n+m\,\!

m = c ⋅ c o s A ^ {\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}

m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!

Usando o Teorema de Pitágoras para obter uma relação entre os lados dos triângulos, temos para BCD:

a 2 = n 2 + h 2 {\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}

a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!

e para BAD:

c 2 = m 2 + h 2 {\displaystyle c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!}

c^{2}=m^{2}+h^{2}\,\!

Substituindo:

n = b − m {\displaystyle n=b-m\,\!}

n=b-m\,\!

h 2 = c 2 − m 2 {\displaystyle h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!}

h^{2}=c^{2}-m^{2}\,\!

a 2 = n 2 + h 2 {\displaystyle a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!}

a^{2}=n^{2}+h^{2}\,\!

teremos:

a 2 = ( b − m ) 2 + c 2 − m 2 {\displaystyle a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}

a^{2}=(b-m)^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!

a 2 = b 2 − 2 b ⋅ m + m 2 + c 2 − m 2 {\displaystyle a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!}

a^{2}=b^{2}-2b\cdot m+m^{2}+c^{2}-m^{2}\,\!

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b ⋅ m {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!}

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot m\,\!

Entretanto, pode-se substituir a relação m = c ⋅ c o s A ^ {\displaystyle m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!} $m=c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!$ , do triângulo B A D {\displaystyle BAD\,\!} $BAD\,\!$ , na equação acima. Dessa maneira, encontra-se uma expressão geral da Lei dos cossenos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b ⋅ c ⋅ c o s A ^ {\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!}

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2b\cdot c\cdot cos{\widehat {A}}\,\!

Da mesma forma, pode-se demonstrar as demais relações:

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a ⋅ c ⋅ c o s B ^ {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!}

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2a\cdot c\cdot cos{\widehat {B}}\,\!

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a ⋅ b ⋅ c o s C ^ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!}

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot cos{\widehat {C}}\,\!

Forma Vetorial

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: definimos um vetor a → {\displaystyle {\vec {a}}} ${\vec {a}}$ como sendo igual a b → − c → {\displaystyle {\vec {b}}-{\vec {c}}} ${\vec {b}}-{\vec {c}}$ temos um triângulo formado pela soma a → + c → {\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {c}}} ${\vec {a}}+{\vec {c}}$ e o resultante b → {\displaystyle {\vec {b}}} ${\vec {b}}$ . Sabendo que u 2 = ‖ u → ‖ 2 {\displaystyle u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}} $u^{2}=\|{\vec {u}}\|^{2}$ e u → ⋅ v → = ‖ u → ‖ ⋅ ‖ v → ‖ ⋅ c o s ( θ ) {\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )} ${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot cos(\theta )$ sendo θ {\displaystyle \theta } $\theta$ o ângulo entre os vetores u → {\displaystyle {\vec {u}}} ${\vec {u}}$ e v → {\displaystyle {\vec {v}}} ${\vec {v}}$ temos o seguinte desenvolvimento:

Triângulo formado por vetores

a → = b → − c → {\displaystyle {\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}} ${\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}$

a → 2 = ‖ a → ‖ 2 = ‖ ( b → − c → ) ‖ 2 {\displaystyle {\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}} ${\vec {a}}^{2}=\|{\vec {a}}\|^{2}=\|({\vec {b}}-{\vec {c}})\|^{2}$

‖ a → ‖ 2 = ( b → − c → ) ⋅ ( b → − c → ) {\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})} $\|{\vec {a}}\|^{2}=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})$

‖ a → ‖ 2 = ‖ b → ‖ 2 + ‖ c → ‖ 2 − 2 b → ⋅ c → {\displaystyle \|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}} $\|{\vec {a}}\|^{2}=\|{\vec {b}}\|^{2}+\|{\vec {c}}\|^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}$

A lei dos cossenos, formulada nesta notação, pode ser escrita como:

‖ a → ‖ 2 = ‖ b → ‖ 2 + ‖ c → ‖ 2 − 2 ‖ b → ‖ ‖ c → ‖ cos ⁡ θ ‖ b → − c → ‖ 2 = ‖ b → ‖ 2 + ‖ c → ‖ 2 − 2 ‖ b → ‖ ‖ c → ‖ cos ⁡ θ 2 ‖ b → ‖ ‖ c → ‖ cos ⁡ θ = ‖ b → ‖ 2 + ‖ c → ‖ 2 − ‖ b → − c → ‖ 2 ‖ b → ‖ ‖ c → ‖ cos ⁡ θ = ‖ b → ‖ 2 + ‖ c → ‖ 2 − ( ‖ b → ‖ 2 − 2 b → ⋅ c → + ‖ c → ‖ 2 ) 2 ‖ b → ‖ ‖ c → ‖ cos ⁡ θ = b → ⋅ c → {\displaystyle {\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}}

{\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta \\2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\frac {\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-(\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2})}{2}}\\\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta &={\vec {b}}\cdot {\vec {c}}\\\end{aligned}}

Que é claramente equivalente à fórmula acima derivada da teoria dos vetores.

Já que θ {\displaystyle \theta } $\theta$ é o ângulo formado entre os vetores b → {\displaystyle {\vec {b}}} ${\vec {b}}$ e c → {\displaystyle {\vec {c}}} ${\vec {c}}$ e considerando que o ponto da origem de b → {\displaystyle {\vec {b}}} ${\vec {b}}$ é o mesmo da origem de c → {\displaystyle {\vec {c}}} ${\vec {c}}$ , dizemos que esse ponto é A, pois é oposto ao vetor a → {\displaystyle {\vec {a}}} ${\vec {a}}$ , logo formando um ângulo A ^ {\displaystyle {\widehat {A}}} ${\widehat {A}}$ .

Forma Matricial

Lei dos Cossenos

Da figura, podemos deduzir, a partir da definição de cosseno, as seguintes relações:

cos ⁡ α = m b → m = b cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha } $\cos \alpha ={\frac {m}{b}}\to m=b\cos \alpha$

cos ⁡ β = n a → n = a cos ⁡ β {\displaystyle \cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta } $\cos \beta ={\frac {n}{a}}\to n=a\cos \beta$

Somando as duas equações, como m + n = c {\displaystyle m+n=c} $m+n=c$ , obtêm-se a relação: c = b cos ⁡ α + a cos ⁡ β {\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta } $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$ . Se fossem traçadas as alturas respectivas a cada lado do triângulo, teríam-se:

a = b cos ⁡ γ + c cos ⁡ β {\displaystyle a=b\cos \gamma +c\cos \beta } $a=b\cos \gamma +c\cos \beta$

b = a cos ⁡ γ + c cos ⁡ α {\displaystyle b=a\cos \gamma +c\cos \alpha } $b=a\cos \gamma +c\cos \alpha$

c = b cos ⁡ α + a cos ⁡ β {\displaystyle c=b\cos \alpha +a\cos \beta } $c=b\cos \alpha +a\cos \beta$

Que consistem em um Sistema Linear, cuja solução pode ser dada pela Regra de Cramer, para tanto, temos:

Matriz dos Coeficientes (M): M = {\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}} $M={\begin{bmatrix}0&c&b\\c&0&a\\b&a&0\end{bmatrix}}$

Matriz não Alterada na Coluna da Varíavel cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha } $\cos \alpha$ (X): X = {\displaystyle X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}} $X={\begin{bmatrix}a&c&b\\b&0&a\\c&a&0\end{bmatrix}}$

Assim, é válida a igualdade cos ⁡ α = d e t d e t {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {det}{det}}} $\cos \alpha ={\frac {det}{det}}$ e, portanto:

cos ⁡ α {\displaystyle \cos \alpha } $\cos \alpha$ = a ( − a 2 + b 2 + c 2 ) 2 a b c → a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ⁡ α {\displaystyle {a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha } ${a(-a^{2}+b^{2}+c^{2}) \over 2abc}\to a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

e, analogamente:

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ⁡ β {\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta } $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ⁡ γ {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma } $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Ver também

Lei dos senos

Referências

↑ a b Marcos Noé. «Lei do cosseno». R7. Brasil Escola. Consultado em 12 de maio de 2013
↑ a b Thyago Ribeiro (3 de junho de 2008). «Lei dos Senos e dos Cossenos». InfoEscola. Consultado em 12 de maio de 2013

Ligações externas

«Uma dedução simples da Lei dos Cossenos»