Lei dos senos

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Trigonometria
História Funções (sen, cos, tan, inversas)
Referência
Identidades Constantes exatas Círculo unitário
Leis e teoremas
Senos Cossenos Tangentes Teorema de Pitágoras
Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  Derivadas
Matemáticos
Hiparco Ptolemeu Brahmagupta al-Battānī Regiomontanus Viète de Moivre Euler Fourier
v d e

Em trigonometria, a lei dos senos é uma relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. Em um triângulo ${\displaystyle ABC}$qualquer, inscrito em uma circunferência de raio ${\displaystyle r}$, de lados ${\displaystyle {\overline {BC}}}$, ${\displaystyle {\overline {AC}}\,\!}$ e ${\displaystyle {\overline {AB}}\,\!}$, que medem respectivamente ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle c}$, com ângulos internos ${\displaystyle {\widehat {A}}}$, ${\displaystyle {\widehat {B}}}$ e ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ vale a seguinte relação:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!}$

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C.

Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar à conclusão que ${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {D}}\,\!}$, porque determinam na circunferência uma mesma corda ${\displaystyle {\overline {BC}}\,\!}$. Desta forma, podemos relacionar:

${\displaystyle \sin {\widehat {D}}={\frac {a}{2r}}}$

${\displaystyle \Rightarrow a=2r\cdot \sin {\widehat {A}}}$

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}=2r}$

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos ${\displaystyle {\widehat {B}}\,\!}$ e ${\displaystyle {\widehat {C}}\,\!}$ teremos as relações:

${\displaystyle {\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}}$ e ${\displaystyle {\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r}$

em que b é a medida do lado AC, oposto a ${\displaystyle {\widehat {B}}\,\!}$, c é a medida do lado AB, oposto a ${\displaystyle {\widehat {C}}\,\!}$, e 2r é uma constante.

Logo, podemos concluir que:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r\,\!}$

Outro modo de demonstrar é usando geometria analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma ${\displaystyle {\vec {b}}+{\vec {c}}}$ e o resultante ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e os ângulos ${\displaystyle {\widehat {C}}}$,${\displaystyle {\widehat {B}}}$ e ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ correspondendo respectivamente aos vetores ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {b}}}$, ${\displaystyle {\vec {a}}}$ e ${\displaystyle {\vec {c}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ e ${\displaystyle {\vec {c}}}$. Sabendo que o dobro da área, representada por ${\displaystyle S}$, do triângulo formado entre os vetores ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que:

${\displaystyle \|{\vec {u}}\times {\vec {v}}\|=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {v}}\|\cdot \sin(\theta )}$

Sendo ${\displaystyle \theta }$ o ângulo entre os vetores ${\displaystyle {\vec {u}}}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$, dessa forma temos o seguinte desenvolvimento:

${\displaystyle \|{\vec {a}}\times {\vec {b}}\|=\|{\vec {a}}\times {\vec {c}}\|=\|{\vec {b}}\times {\vec {c}}\|=2S}$

${\displaystyle \|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}=\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}=\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}=2S}$

${\displaystyle {\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {\|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|\cdot \sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}={\frac {2S}{\|{\vec {a}}\|\cdot \|{\vec {b}}\|\cdot \|{\vec {c}}\|}}}$

${\displaystyle {\frac {\sin {\widehat {C}}}{\|{\vec {c}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {B}}}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\sin {\widehat {A}}}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {1}{2r}}}$

Que pode ser representado como a lei dos senos que conhecemos:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\widehat {A}}}}={\frac {b}{\sin {\widehat {B}}}}={\frac {c}{\sin {\widehat {C}}}}=2r}$

Pois é uma relação possível de se inverter.

Ver artigo principal: Trigonometria esférica

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {sen} a}{\operatorname {sen} A}}={\frac {\operatorname {sen} b}{\operatorname {sen} B}}={\frac {\operatorname {sen} c}{\operatorname {sen} C}}\,}$

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite, ${\displaystyle {\frac {x}{sinx}}\to 1\,}$.

• Lei dos cossenos

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