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Em cálculo, a notação de Leibniz, nomeada em honra ao filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os símbolos dx e dy para representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como Δx e Δy representam incrementos finitos de x e y. Sendo y uma função de x
y = f ( x ) , {\displaystyle y=f(x)\,,}a derivada de y com relação a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,
lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x , {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}},}era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinitesimal de x, ou
d y d x = f ′ ( x ) , {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f'(x),}onde, à direita está a notação de Lagrange para a derivada de f em x.
Similarmente, embora os matemáticos atualmente vejam uma integral
∫ f ( x ) d x {\displaystyle \int f(x)\,dx}como um limite
lim Δ x → 0 ∑ i f ( x i ) Δ x , {\displaystyle \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\sum _{i}f(x_{i})\,\Delta x,}onde Δx é um intervalo contendo xi, Leibniz o entendia como uma soma (o símbolo da integral denota um somatório) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx.
Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz é sua compatibilidade com análise dimensional. Por exemplo, na notação de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciação implícita) é:
d 2 y d x 2 = f ″ ( x ) {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f''(x)}e tem as mesmas unidades dimensionais que y x 2 {\displaystyle {\frac {y}{x^{2}}}} . Note que d 2 y d x 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}} é a forma reduzida de d d y d x d x {\displaystyle {\frac {d{\frac {dy}{dx}}}{dx}}} , ou, em outras palavras a segunda variação infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variação infinitesima de x. O denominador não é nem o diferencial de x2, nem o segundo diferencial de x.
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