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O princípio de Cavalieri (a base do método dos indivisíveis) refere-se às seguintes duas proposições em geometria:
"Dadas duas regiões planas incluídas entre um par de retas paralelas, se toda reta paralela ao par de retas e que intersecta as regiões o faz em segmentos cujos comprimentos estão sempre na mesma razão, então as áreas das regiões também estão nessa mesma razão."
E a proposição análoga para sólidos:
"Dados dois sólidos incluídos entre um par de planos paralelos, se todo plano paralelo ao par de planos e que intersecta os sólidos o faz em seções cujas áreas estão sempre na mesma razão, então os volumes dos sólidos também estão nessa mesma razão."
Apesar do princípio levar o nome de Cavalieri, ele já era conhecido dos gregos antigos, tendo sido utilizado por Arquimedes, que relatou que ele já tinha sido empregado ainda antes por Eudoxo e Demócrito quando calcularam o volume de um cone.
Matemático italiano, Bonaventura Cavalieri, século XVI, discípulo de Galilleu, foi considerado o autor do método capaz de achar áreas e volumes de sólidos com maior facilidade.
A principal ideia é que mesmo com o formato geométrico modificado ,a não ser quando perde ou ganha massa,o volume permanecerá o mesmo, essa é a principal ideia para o Princípio de Cavalieri.
Podendo ser utilizado de forma axiomática, este princípio pode ser compreendido supondo-se dois sólidos A {\displaystyle \mathrm {A} }
e B {\displaystyle \mathrm {B} } em um plano horizontal α {\displaystyle \alpha } e um plano paralelo a α {\displaystyle \alpha } , que seria , α ′ {\displaystyle \alpha '} de forma que ambos os planos cortem os sólidos em secções de mesma área para cada corte dado.Pelo princípio de Cavalieri é afirmado que o volume do sólido A {\displaystyle \mathrm {A} } é igual ao volume do sólido B {\displaystyle \mathrm {B} } .Considerando que os sólidos A {\displaystyle \mathrm {A} }
e B {\displaystyle \mathrm {B} } sejam fatiados com o igual número de fatias contando, todas, a mesma altura e secções de mesma área, assim terão, aproximadamente o mesmo volume. Quanto mais fina as fatias, maior será a aproximação.
Sólidos geométricos, os cilindros e os prismas em qualquer secção feita por um plano paralelo à base, será compreendida uma figura plana congruente a base.
Suponha-se um plano α ′ {\displaystyle \alpha '}
paralelo ao plano α {\displaystyle \alpha } que contém bases de um cilindro e paralelepípedo.O corte feito por α ′ {\displaystyle \alpha '} determina em ambos os sólidos figuras congruentes às suas bases, isto é com áreas iguais.A 1 {\displaystyle A_{1}}
: Corte feito pelo plano α ′ {\displaystyle \alpha '} no paralelepípedo;A {\displaystyle \mathrm {A} }
: Base do paralelepípedo no plano α {\displaystyle \alpha } ;A 2 {\displaystyle A_{2}}
:Corte feito pelo plano α ′ {\displaystyle \alpha '} no cilindro;A {\displaystyle \mathrm {A} }
: Base do cilindro no plano α {\displaystyle \alpha } .Sabendo que A p {\displaystyle A_{p}}
(área do paralelepípedo) = A c {\displaystyle A_{c}} ( área do cilindro),temos que A 1 {\displaystyle A_{1}} = A {\displaystyle \mathrm {A} } e A 2 {\displaystyle A_{2}} = A {\displaystyle \mathrm {A} } . Sabendo que a base do paralelepípedo possui base igual ao do cilindro, denominada de A {\displaystyle \mathrm {A} } .Como A 1 {\displaystyle A_{1}}
= A {\displaystyle \mathrm {A} } = A 2 {\displaystyle A_{2}} , com o uso do Princípio de Cavalieri, temos que:
V
p
{\displaystyle V_{p}}
( Volume do paralelepípedo)=
A
B
{\displaystyle A_{B}}
(área da base)
×
{\displaystyle \times }
h
{\displaystyle \mathrm {h} }
(altura)=
V
c
{\displaystyle V_{c}}
(volume do cilindro)
Portanto:
V c {\displaystyle V_{c}}
= A B {\displaystyle A_{B}} × {\displaystyle \times } h {\displaystyle \mathrm {h} }O mesmo é aplicado ao prisma:
V p {\displaystyle V_{p}}
(volume do prisma)= A B {\displaystyle A_{B}} × {\displaystyle \times } h {\displaystyle \mathrm {h} }Consideremos uma esfera E {\displaystyle E}
de centro C 1 {\displaystyle C_{1}} e raio R {\displaystyle R} , delimitada pelos planos α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } , paralelos entre si e tangentes à esfera.Consideremos ainda o plano γ {\displaystyle \gamma }
entre os planos α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } , paralelo a ambos. A intersecção entre o plano γ {\displaystyle \gamma } e a esfera produzirá uma secção transversal, no formato de um círculo, de centro C 2 {\displaystyle C_{2}} e raio r 1 {\displaystyle r_{1}} .Denotemos por d {\displaystyle d}
a distância entre o centro da esfera, C 1 {\displaystyle C_{1}} e centro da secção transversal, C 2 {\displaystyle C_{2}} .Construamos o ponto A {\displaystyle A}
, na intersecção da secção transversal com o plano γ {\displaystyle \gamma } . Ao traçarmos um segmento com extremos em C 1 {\displaystyle C_{1}} e A, a medida desse segmento será igual a R. Teremos, então, o triângulo de vértices C 1 C 2 A {\displaystyle C_{1}C_{2}A} , retângulo em C 2 {\displaystyle C_{2}} , com hipotenusa medindo R {\displaystyle R} e catetos medindo respectivamente d {\displaystyle d} e r 1 {\displaystyle r_{1}} .Aplicando o Teorema de Pitágoras temos R 2 = r 1 2 + d 2 {\displaystyle R^{2}={r_{1}}^{2}+d^{2}}
que podemos reescrever como r 1 2 = R 2 − d 2 {\displaystyle {r_{1}}^{2}=R^{2}-d^{2}} .Por outro lado, a área da seção será dada por A S 1 = π r 1 2 {\displaystyle {A_{S}}_{1}=\pi {r_{1}}^{2}}
. Substituindo o valor de r 1 2 {\displaystyle {r_{1}}^{2}} encontrado acima, temos A S 1 = π ( R 2 − d 2 ) {\displaystyle {A_{S}}_{1}=\pi (R^{2}-d^{2})} .O Princípio de Cavalieri garante que se fatiarmos um sólido geométrico em várias posições transversais e deslocá-las ou reordená-las, ainda assim, o volume total dessas fatias seria igual ao volume desse sólido.
Consideremos então o sólido geométrico, formado por dois cones, unidos pelos vértices, denominado clepsidra, também conhecida como ampulheta, com o raio de suas bases igual a R {\displaystyle R}
. Sendo essa clepsidra delimitada pelos planos α {\displaystyle \alpha } e β {\displaystyle \beta } , a altura de cada cone será igual ao raio da esfera, ou seja, R {\displaystyle R} .Note que a clepsidra será intersectada pelo plano γ {\displaystyle \gamma }
, e a secção transversal será um círculo de raio r 2 ≠ r 1 {\displaystyle r_{2}\neq r_{1}} . A área da secção da pode ser obtida por A S 2 = π r 2 2 {\displaystyle {A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}} .Como a altura do cone e o raio de sua base são iguais a R {\displaystyle R}
, na clepsidra, podemos utilizar a semelhança de triângulos, para deduzir que R {\displaystyle R} está para d {\displaystyle d} , assim como R {\displaystyle R} está par a r 2 {\displaystyle r_{2}} , ou seja,R d = R r 2 ⇒ R . r 2 = R . d ⇒ r 2 = d {\displaystyle {\frac {R}{d}}={\frac {R}{r_{2}}}\Rightarrow R.r_{2}=R.d\Rightarrow r_{2}=d}
.Daí temos que A S 2 = π r 2 2 ⇒ A S 2 = d 2 {\displaystyle {A_{S}}_{2}=\pi {r_{2}}^{2}\Rightarrow {A_{S}}_{2}=d^{2}}
.Entretanto, o Princípio de Cavaliere só pode ser aplicado a secções transversais que apresentem a mesma área, o que não é o caso.
Construindo, entretanto, um cilindro de altura 2 R {\displaystyle 2R}
e base de raio R {\displaystyle R} em torno da clepsidra, podemos utilizar a anti-clepsidra, que trata-se do que resta do cilindro ao retirarmos a clepsidra de seu interior.Observe que a seção transversal produzida pela interseção do plano γ {\displaystyle \gamma }
com o cilindro terá seu raio medindo R {\displaystyle R} .Então a área da secção transversal da anti-clepsidra, que denotaremos por A S 3 {\displaystyle {A_{S}}_{3}}
poderá ser obtida pela área do da secção transversal do cilindro, subtraindo-se a secção transversal da clepsidra.Logo, temos A S 3 = π R 2 − π d 2 {\displaystyle {A_{S}}_{3}=\pi {R}^{2}-\pi {d}^{2}}
. Colocando π {\displaystyle \pi } em evidência, temos que A S 3 = π ( R 2 − d 2 ) {\displaystyle {A_{S}}_{3}=\pi ({R}^{2}-{d}^{2})} .Observe que temos A S 3 = A S 1 {\displaystyle {A_{S}}_{3}={A_{S}}_{1}}
, isto é, as áreas das secções transversais da anti-clepsidra e da esfera tem medidas iguais, então podemos utilizar o Princípio de Cavalieri, para encontrar o volume da esfera.O volume da esfera será igual ao volume da anti-clepsidra, conforme nos garante Cavalieri, e o volume da anti-clepsidra pode ser obtido a partir dos volumes de dois sólidos cujas fórmulas são conhecidas: o cilindro e o cone.
O Volume do cilindro em questão e dado por V c i l i n d r o = π . R 2 .2 R = 2 π . R 3 {\displaystyle V_{cilindro}=\pi .R^{2}.2R=2\pi .R^{3}}
e o volume de cada cone dado por V c o n e = π . R 2 . R 3 = π . R 3 3 {\displaystyle V_{cone}={\frac {\pi .R^{2}.R}{3}}={\frac {\pi .R^{3}}{3}}} .Assim, o volume da anti-clepsidra, ou seja, o volume da esfera, pode ser obtido, pelo volume do cilindro, subtraindo-se o volume da clepsidra (2 vezes o volume do cone).
Então, temos
V e s f e r a = V a n t i − c l e p s i d r a = V c i l i n d r o − 2. V c o n e {\displaystyle V_{esfera}=V_{anti-clepsidra}=V_{cilindro}-2.V_{cone}}
⇒ V e s f e r a = 2 π . R 3 − 2 ( π . R 3 3 ) ⇒ V e s f e r a = 2 π . R 3 − 2 π . R 3 3 {\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-2({\frac {\pi .R^{3}}{3}})\Rightarrow V_{esfera}=2\pi .R^{3}-{\frac {2\pi .R^{3}}{3}}}
⇒ V e s f e r a = 6 π . R 3 − 2 π . R 3 3 {\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}={\frac {6\pi .R^{3}-2\pi .R^{3}}{3}}}
⇒ V e s f e r a = 4 π . R 3 3 {\displaystyle \Rightarrow V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}}
.Portanto, utilizando o Princípio de Cavalieri, conseguimos deduzir que o volume da esfera é dado por
V
e
s
f
e
r
a
=
4
π
.
R
3
3
{\displaystyle V_{esfera}={\frac {4\pi .R^{3}}{3}}}
Na plataforma do Geogebra.org é possível obter diversos materiais para simulação do princípio de Cavalieri, além das diversas atividades disponíveis para consultas e estudos.
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