Quádrica

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Quádrica ou superfície quádrica é, em matemática, o conjunto dos pontos do espaço tridimensional cujas coordenadas formam um polinômio de segundo grau de no máximo três variáveis denominada de equação cartesiana da superfície:

• ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0\,}$ onde pelo menos um dos coeficientes a, b, c, d, e ou f é diferente zero, representando assim uma superfície quádrica, ou simplesmente, uma quádrica. Se a superfície quádrica, for cortada pelos planos coordenados ou por planos paralelos a eles, a curva de interseção será uma cônica. A interseção de uma superfície com um plano é chamado de traço da superfície no plano. A redução da equação geral das quádricas às suas formas mais simples exige cálculos laboriosos.

Como a dimensão do plano é 2, ou ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, as quádricas no plano cartesiano têm dimensão um e são curvas planas. Também são chamados de seções cónicas ou cónicas.

Numa visão informal, as superfícies quadráticas são as regiões formadas quando as cônicas se movimentam no espaço. A partir da equação geral do segundo grau nas três variáveis x,y,z é possível representar uma superfície quadrática.

Observemos que se a superfície quadrática formada pela equação geral, for cortada por um plano paralelo a um dos planos coordenados, a curva de interseção será uma cônica.

A superfície esférica S de centro C e raio r > 0 é o lugar geométrico dos pontos do espaço que mantém a distância r de C. Sendo ${\displaystyle P=(x,y,z)\in S\,}$ e C = ${\displaystyle (x_{o},y_{o},z_{o})\,}$ então d(P,C) = r, ou seja, a equação implícita de S é:

${\displaystyle (x-x_{o})^{2}+(y-y_{o})^{2}+(z-z_{o})^{2}=r^{2}\,}$

Se aproximarmos um plano ${\displaystyle \pi \,}$ de uma superfície esférica de modo que este toque a superfície em apenas um ponto Pt, este ponto é chamado ponto de tangência onde é válido:

${\displaystyle \pi \cap S=\{Pt\}\,}$

${\displaystyle {\overline {C\ Pt}}\perp \pi \,}$

${\displaystyle d(C,\pi )=r\,}$

Porém, se o plano ${\displaystyle \pi }$ tocar a superfície em mais de um ponto, então o plano é secante à superfície, o que acontece sempre que ${\displaystyle d(C,\pi )<r\,}$.

Uma superfície é dita cilíndrica se existir uma curva C e uma reta r tais que a superfície seja a união de retas paralelas a r que passem por C. C é chamada diretriz da superfície S e as retas paralelas a r são geratrizes de S.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Uma superfície S é dita cônica se ela for formada a partir de uma curva C e um ponto V não pertencente a C tal que S é a união das retas VQ, onde Q percorre C.

Se a curva C for uma quádrica plana, então a superfície será uma quádrica no espaço.

Uma superfície S é uma superfície de rotação se existem uma reta r e uma curva C tal que S é a união das circunferências com centro em r e que tangenciam C.

r é o eixo de rotação de S. A interseção de S com o semiplano de origem r é um meridiano de S.

Na maioria dos casos em que a curva C é uma quádrica plana, a superfície tem grau maior que 2 (não sendo uma quádrica; por exemplo, se C for um círculo que não intercepta r, S será um toro).

S será uma quádrica quando C, além de ser uma quádrica, ainda tem r como eixo de simetria.

Relação das superfícies quádricas da sua fórmula e desenho:

Superfície quádrica	Fórmulas	Desenho
Elipsoide	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Elipsoide de revolução (caso particular do elipsoide)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Esfera (caso particular do elipsoide de revolução)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Paraboloide elíptico	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Paraboloide de revolução (caso particular do paraboloide elíptico)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,}$
Paraboloide hiperbólico	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,}$
Hiperboloide de uma folha	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Hiperboloide de duas folhas	${\displaystyle -{x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,}$
Cone	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,}$
Cilindro elíptico	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cilindro circular (caso particular do Cilindro elíptico)	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,}$
Cilindro hiperbólico	${\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,}$
Cilindro parabólico	${\displaystyle x^{2}+2y=0\,}$

Referências

• Camargo, Ivan de; Boulos, Paulo. (2005). Geometria Analítica: um Tratamento Vetorial. Makron Books. 3ª edição. ISBN 8587918915.

• Applet interativo 3D em Java de todas as quádricas
• Venturi, Jacir J. (2003). Cônicas e Quádricas (PDF). Curitiba: Unificado. 246 páginas. ISBN 85-85132-48-5