Cone

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Um cone.

Em geometria, o cone é um sólido geométrico obtido quando se tem uma pirâmide cuja base é um polígono regular, o número de lados da base tende ao infinito e a medida de lado do polígono tende a zero.

Classificação

Os cones podem ser divididos em:

Reto;
Oblíquo;
Equilátero.

Reto

O cone é dito reto quando a sua base é um círculo e a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência da sua base (isto é, o seu eixo) é perpendicular ao plano da base. Em um cone circular reto, cuja base é um círculo, a face lateral é formada por geratrizes (g), que são linhas retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz, porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a superfície cônica. Pode-se dizer também que o cone é gerado por um triângulo retângulo que roda sobre um eixo formado por um dos catetos, no caso de ser um cone reto.

Oblíquo

Denomina-se oblíquo quando não é um cone reto, ou seja, quando o eixo não é perpendicular ao plano da base.

Equilátero

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

Cone de um espaço vetorial

Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo elemento v pertencente a C e todo t > 0 real, tem-se que tv pertence a C.

Fórmulas

O volume, V {\textstyle V} ${\textstyle V}$ , de um cone de altura, h {\textstyle h} ${\textstyle h}$ , e base com raio, r {\textstyle r} ${\textstyle r}$ , é 1 / 3 {\textstyle 1/3} ${\textstyle 1/3}$ do volume do cilindro com as mesmas dimensões, ou seja:

V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h} $V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

O centro de massa (considerando que o cone possui densidade uniforme) está localizado no seu eixo a 1 / 4 {\textstyle 1/4} ${\textstyle 1/4}$ da distância da base ao eixo. A área da superfície de um cone A {\textstyle A} ${\textstyle A}$ é dada por:

A = π r ( r + g ) {\displaystyle A=\pi r(r+g)} $A=\pi r(r+g)$

onde, g = r 2 + h 2 {\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} ${\textstyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ é a geratriz ou altura lateral do cone. O primeiro termo nesta fórmula, π r 2 {\textstyle \pi r^{2}} ${\textstyle \pi r^{2}}$ é a área da base, enquanto que o segundo termo π r g {\textstyle \pi rg} ${\textstyle \pi rg}$ é a área lateral. Ou seja, a área total é a área lateral mais a área da base:

A = π r ⋅ g + π r 2 {\displaystyle A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}} $A=\pi r\cdot g+\pi r^{2}$

Com uso de cálculo integral

Aqui, obteremos as fórmulas do volume e área total do cone usando de técnicas de cálculo diferencial e integral. Um cone de altura h {\textstyle h} ${\textstyle h}$ e raio r {\textstyle r} ${\textstyle r}$ corresponde ao sólido de revolução que se obtém ao rotacionar a função:

y = r h x {\displaystyle y={\frac {r}{h}}x} $y={\frac {r}{h}}x$

em torno do eixo x {\textstyle x} ${\textstyle x}$ .

Volume

Cone de revolução.

Notemos que a área da seção circular do cone é dada por:

A = π y 2 = π ( r h x ) 2 {\displaystyle A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}} $A=\pi y^{2}=\pi \left({\frac {r}{h}}x\right)^{2}$

Para um deslocamento infinitesimal d x {\textstyle dx} ${\textstyle dx}$ tem-se o incremento de volume:

d V = π r 2 h 2 x 2 d x {\displaystyle dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx} $dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}x^{2}dx$

Então, integrando de 0 {\textstyle 0} ${\textstyle 0}$ a h {\textstyle h} ${\textstyle h}$ obtemos o volume do cone:

∫ 0 h d V = π r 2 h 2 ∫ 0 h x 2 d x ⇒ V = 1 3 π r 2 h {\displaystyle \int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h} $\int _{0}^{h}dV=\pi {\frac {r^{2}}{h^{2}}}\int _{0}^{h}x^{2}dx\Rightarrow V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$

Área total

O cálculo da área de superfície total do cone se divide em duas partes: o cálculo da área da base e o cálculo da área lateral. A base é um círculo de área:

A b = π r 2 {\displaystyle A_{b}=\pi r^{2}} $A_{b}=\pi r^{2}$

Agora, para obtermos a área da superfície lateral, vamos empregar um raciocínio semelhante ao do cálculo do volume. Primeiramente, observamos que um deslocamento infinitesimal d x {\textstyle dx} ${\textstyle dx}$ corresponde a um deslocamento de comprimento de linha d L {\textstyle dL} ${\textstyle dL}$ sobre a reta y = r h x {\textstyle y={\frac {r}{h}}x} ${\textstyle y={\frac {r}{h}}x}$ . Pelo Teorema de Pitágoras temos que ( d L ) 2 = ( d y ) 2 + ( d x ) 2 {\displaystyle (dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}} $(dL)^{2}=(dy)^{2}+(dx)^{2}$ , ou seja:

d L = ( d y d x ) 2 + 1 d x {\displaystyle dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx} $dL={\sqrt {\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}+1}}\,dx$

Considerando a rotação do segmento d L {\textstyle dL} ${\textstyle dL}$ em torno do eixo x {\textstyle x} ${\textstyle x}$ , temos que o incremento de área lateral infinitesimal é dada por:

d A l = 2 π y d L {\displaystyle dA_{l}=2\pi y\,dL} $dA_{l}=2\pi y\,dL$

Substituindo y {\textstyle y} ${\textstyle y}$ e d L {\textstyle dL} ${\textstyle dL}$ em função de x {\textstyle x} ${\textstyle x}$ e d x {\textstyle dx} ${\textstyle dx}$ , obtemos:

d A l = 2 π r h x r 2 h 2 + 1 d x {\displaystyle dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx} $dA_{l}=2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx$

Integrando de 0 {\textstyle 0} ${\textstyle 0}$ a h {\textstyle h} ${\textstyle h}$ , temos:

∫ 0 h d A l = ∫ 0 h 2 π r h x r 2 h 2 + 1 d x ⇒ A l = π r r 2 + h 2 {\displaystyle \int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} $\int _{0}^{h}dA_{l}=\int _{0}^{h}2\pi {\frac {r}{h}}x{\sqrt {{\frac {r^{2}}{h^{2}}}+1}}\,dx\Rightarrow A_{l}=\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

Somando-se as áreas da base e lateral temos a área total:

A = π r ( g + r ) {\displaystyle A=\pi r(g+r)} $A=\pi r(g+r)$

onde, g = r 2 + h 2 {\displaystyle g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}} $g={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ .

Para cones equiláteros

A área da base do cone é:

A b = π r 2 {\displaystyle A_{b}=\pi r^{2}}

A_{b}=\pi r^{2}

Pelo Teorema de Pitágoras temos que ( 2 r ) 2 = h 2 + r 2 {\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}} ${\textstyle (2r)^{2}=h^{2}+r^{2}}$ , logo h 2 = 4 r 2 − r 2 = 3 r 2 {\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}} ${\textstyle h^{2}=4r^{2}-r^{2}=3r^{2}}$ , assim: