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Em geometria plana euclidiana, quadrilátero é um polígono simples de quatro lados. A soma dos seus ângulos internos é igual a 360 ∘ , {\displaystyle 360^{\circ },} bem como a soma dos seus ângulos externos.
Sejam A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} e D {\displaystyle D} quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se os segmentos A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} , C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} e D A ¯ {\displaystyle {\overline {DA}}} interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero.
Logo, podemos definir da seguinte forma:
Quadrilátero A B C D {\displaystyle ABCD} é definido como a união A B ¯ ∪ B C ¯ ∪ C D ¯ ∪ D A ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\cup {\overline {BC}}\cup {\overline {CD}}\cup {\overline {DA}}}
Um quadrilátero..
Identificamos os seguintes elementos em um quadrilátero A B C D : {\displaystyle ABCD:}
Cada ângulo interno de um quadrilátero tem por suplemento o seu respectivo ângulo externo.
Os quadriláteros notáveis são os trapézios, os paralelogramos, os retângulos, os losangos e os quadrados.
TrapézioUm quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.
Paralelogramo ABCD.A B C D é trapézio ⟺ ( A B ¯ / / C D ¯ ou A D ¯ / / B C ¯ ) {\displaystyle ABCD\quad {\text{é trapézio }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{ou}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)}
Um quadrilátero plano convexo é um paralelogramo se, e somente se, possui os lados opostos paralelos.
A B C D é paralelogramo ⟺ ( A B ¯ / / C D ¯ e A D ¯ / / B C ¯ ) {\displaystyle ABCD\quad {\text{é paralelogramo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)}
Um quadrilátero plano convexo é um retângulo se, e somente se, possui os quatro ângulo congruentes.
A B C D é retângulo ⟺ A ^ ≡ B ^ ≡ C ^ ≡ D ^ {\displaystyle ABCD\quad {\text{é retângulo }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}}
Retângulo, losango e quadrado.Um quadrilátero plano convexo é um losango se, e somente se, possui os quatro lados congruentes.
A B C D é losango ⟺ A B ¯ ≡ B C ¯ ≡ C D ¯ ≡ D A ¯ {\displaystyle ABCD\quad {\text{é losango }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}}
Um quadrilátero plano convexo é um quadrado se, e somente se, possui os quatro ângulos congruentes e os quatro lados congruentes.os quatro lados possuem a mesma medida
A B C D é quadrado ⟺ A ^ ≡ B ^ ≡ C ^ ≡ D ^ e A B ¯ ≡ B C ¯ ≡ C D ¯ ≡ D A ¯ {\displaystyle ABCD\quad {\text{é quadrado }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad {{\hat {A}}\equiv {\hat {B}}\equiv {\hat {C}}\equiv {\hat {D}}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}}}
Em um quadrilátero, tanto a soma das medidas dos ângulos internos quanto a soma dos ângulos externos são iguais a 360 ∘ {\displaystyle 360^{\circ }} .
Assim, seja A B C D {\displaystyle ABCD} um quadrilátero qualquer, cujos ângulos internos medem a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} e d {\displaystyle d} e seus ângulos externos, respectivamente e {\displaystyle e} , f {\displaystyle f} , g {\displaystyle g} e h {\displaystyle h} , temos:
a + b + c + d = 360 ∘ {\displaystyle a+b+c+d=360^{\circ }} e e + f + g + h = 360 ∘ {\displaystyle e+f+g+h=360^{\circ }}
Ilustração da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Figura 9Para demonstrar essa propriedade vamos traçar a diagonal A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} (sem perda de generalidade), de modo a decompor o quadrilátero em dois triângulos, △ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} e △ A C D {\displaystyle \triangle {ACD}} .
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} , temos:
△ A B C {\displaystyle \triangle {ABC}} : a ′ + b + c ′ = 180 ∘ {\displaystyle a'+b+c'=180^{\circ }}
△ A C D {\displaystyle \triangle {ACD}} : a ″ + c ″ + d = 180 ∘ {\displaystyle a''+c''+d=180^{\circ }}
Assim, se somarmos as duas equações acima, obtemos:
a ′ + a ″ + b + d + c ′ + c ″ = 360 ∘ ⟺ a + b + c + d = 360 ∘ {\displaystyle a'+a''+b+d+c'+c''=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {a+b+c+d=360^{\circ }}}
Sabemos que cada ângulo interno é suplementar ao seu interno adjacente. Assim temos:
a = 180 ∘ − e {\displaystyle a=180^{\circ }-e}
b = 180 ∘ − f {\displaystyle b=180^{\circ }-f}
c = 180 ∘ − g {\displaystyle c=180^{\circ }-g}
d = 180 ∘ − h {\displaystyle d=180^{\circ }-h}
Ou seja:
180 ∘ − e + 180 ∘ − f + 180 ∘ − g + 180 ∘ − h = 360 ∘ ⟺ e + f + g + h = 360 ∘ − 360 ∘ + 360 ∘ {\displaystyle 180^{\circ }-e+180^{\circ }-f+180^{\circ }-g+180^{\circ }-h=360^{\circ }\qquad \Longleftrightarrow \qquad {e+f+g+h=360^{\circ }-360^{\circ }+360^{\circ }}}
Logo
e + f + g + h = 360 ∘ {\displaystyle e+f+g+h=360^{\circ }} .
Os quadriláteros são classificados em quadriláteros convexos ou côncavos. Um quadrilátero é convexo quando a região plana limitada por seus lados é convexa, caso contrário ele é côncavo.
Uma outra forma de definir quadriláteros convexos e côncavos é a seguinte:
Dentre os quadriláteros convexos existem dois grupos que se destacam: os trapézios e os paralelogramos.
A = ( B + b ) . h 2 {\displaystyle A={\dfrac {(B+b).h}{2}}}
onde, B é a base maior do trapézio; b é a base menor do trapézio; h é a altura do trapézio.
A = b . h {\displaystyle A=b.h}
onde, b é a base do paralelogramo; h é a altura do paralelogramo. Como todo retângulo, losango e quadrado é um paralelogramo, o calculo de sua área é feito da mesma forma.
Área dos paralelogramosConsidere D e d a diagonal maior e a diagonal menor do losango, respectivamente. Note que a área do losango é a metade da área de um retângulo cujos lados são as respectivas diagonais do losango.
Um quadrilátero convexo é circunscritível a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes a circunferência.
Propriedade Quadrilátero A B C D {\displaystyle ABCD} circunscrito à circunferência.Um quadrilátero só é circunscritível a uma circunferência se a soma de quaisquer dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados opostos.
Isso pode ser enunciado através do seguinte teorema:
"Uma condição necessária e suficiente para um quadrilátero convexo ser circunscritível a uma circunferência é a soma de dois lados opostos ser igual à soma dos outros dois."
Por se tratar de uma equivalência, precisamos demonstrar esse teorema em duas partes.
Primeira parteSe um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois.
Assim, queremos mostrar que:
A B C D circunscrito a λ ⟹ A B ¯ + C D ¯ = A D ¯ + B C ¯ {\displaystyle ABCD\quad {\text{circunscrito a }}\quad \lambda \qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}}
Sejam X {\displaystyle X} , Y {\displaystyle Y} , Z {\displaystyle Z} e T {\displaystyle T} os pontos de tangência de A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} , C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} e D A ¯ {\displaystyle {\overline {DA}}} , respectivamente, e, aplicando as propriedades dos segmentos tangentes, temos:
A X ¯ ≡ A T ¯ {\displaystyle {\overline {AX}}\equiv {\overline {AT}}} , B X ¯ ≡ B Y ¯ {\displaystyle {\overline {BX}}\equiv {\overline {BY}}} , C Z ¯ ≡ C Y ¯ {\displaystyle {\overline {CZ}}\equiv {\overline {CY}}} e D Z ¯ ≡ D T ¯ {\displaystyle {\overline {DZ}}\equiv {\overline {DT}}} .
Se somarmos as quatro equações, teremos:
A X ¯ + B X ¯ + C Z ¯ + D Z ¯ = A T ¯ + B Y ¯ + C Y ¯ + D T ¯ {\displaystyle {\color {blue}{\overline {AX}}}+{\color {blue}{\overline {BX}}}+{\color {red}{\overline {CZ}}}+{\color {red}{\overline {DZ}}}={\color {green}{\overline {AT}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BY}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {CY}}}+{\color {green}{\overline {DT}}}}
Isso é equivalente a dizer:
A B ¯ + C D ¯ = A D ¯ + B C ¯ {\displaystyle {\color {blue}{\overline {AB}}}+{\color {red}{\overline {CD}}}={\color {green}{\overline {AD}}}+{\color {YellowOrange}{\overline {BC}}}} .
Segunda parteSe num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.
Imagem suporte para demonstraçãoAssim, queremos mostrar que:
A B ¯ + C D ¯ = A D ¯ + B C ¯ ⟹ A B C D é circunscritível a uma circunferência {\displaystyle {{\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é circunscritível a uma circunferência}}}
Para demonstrar essa propriedade começaremos por enunciar que A B C D {\displaystyle ABCD} não é circunscritível e, então, encontraremos uma contradição.
Assim, tomaremos uma circunferência λ {\displaystyle \lambda } tangente aos lados A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , B C ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}} e C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} do quadrilátero.
Imagem suporte para demonstraçãoComo enunciamos que A B C D {\displaystyle ABCD} não é circunscritível a λ {\displaystyle \lambda } , existe um quadrilátero A B C X {\displaystyle ABCX} , com X {\displaystyle X} na reta C D ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}} que é circunscrito a λ {\displaystyle \lambda } .
Visto que A B C X {\displaystyle ABCX} é circunscrito a λ {\displaystyle \lambda } , temos, conforme foi demonstrado acima:
A B ¯ + C X ¯ = B C ¯ + A X ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}} .
Por hipótese, temos: A B ¯ + C D ¯ = A D ¯ + B C ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}} .
Note que X {\displaystyle X} está sob a reta C D ↔ {\displaystyle {\overleftrightarrow {CD}}} , ou seja, precisamos admitir, sem perda de rigor, que X {\displaystyle X} pode estar ou sob o segmento C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} ou fora dele.
Para cada um dos casos temos:
No primeiro caso, temos:
A B ¯ + C D ¯ = A D ¯ + B C ¯ ⟹ A B ¯ + C X ¯ + X D ¯ = A D ¯ + B C ¯ ⟹ A B ¯ + C X ¯ = A D ¯ + B C ¯ − X D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}+{\overline {CX}}+{\overline {XD}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}}}
Como, anteriormente vimos que A B ¯ + C X ¯ = B C ¯ + A X ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {CX}}={\overline {BC}}+{\overline {AX}}} , obtemos:
B C ¯ + A X ¯ = A D ¯ + B C ¯ − X D ¯ ⟹ A X ¯ = A D ¯ + X D ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}+{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {BC}}-{\overline {XD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AX}}={\overline {AD}}+{\overline {XD}}}}
Porém, observe que essa última relação é um absurdo, pois contradiz a existência de △ A D X {\displaystyle \triangle {ADX}} , fazendo com que X = D {\displaystyle X=D} .
Logo, para esse primeiro caso temos que A B C D {\displaystyle ABCD} é circunscritível a uma circunferência.
O segundo caso prova-se de modo análogo, fazendo relações algébricas similares de modo a obter que A X ¯ = A D ¯ − X D ¯ {\displaystyle {\overline {AX}}={\overline {AD}}-{\overline {XD}}} , o que também obriga ser verdadeiro X = D {\displaystyle X=D} .
Portanto, podemos afirmar que, se num quadrilátero convexo a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois, então o quadrilátero é circunscritível a uma circunferência.
Os Elementos de Euclides foi um dos mais antigos tratados gregos existentes; a mais renomada obra na história da matemática. Segundo Proclus tal obra está relacionada com o resto da matemática, assim como as letras do alfabeto estão relacionadas com a linguagem. Euclides em sua obra, “Os Elementos”, livro I, Definições, admite as seguintes definições para as figuras quadriláteros:
Em resumo Euclides define os quadriláteros da seguinte forma:
Quadriláteros Notáveis de Euclides.No século XVIII, momento da Revolução Francesa (1789) e período do apogeu das ideias iluministas podemos destacar Legendre como um matemático, que como resposta a sua inquietação com relação à necessidade de maior rigor matemático, revive em sua obra intitulada por “Elements de geométrie”, a qualidade intelectual de Euclides, Legendre nesta obra, especificamente no capítulo, Princípios, livro I, afirma que os polígonos de quatro lados são chamados de quadriláteros e entre os quadriláteros, os que mais se distingue são:
Em resumo Legendre define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 3)
Quadriláteros Notáveis de LegendreEm seu livro: Geometria Elementar, primeira edição em 1971. Edwin M. Hemmerling, define os quadriláteros da seguinte maneira:
Em resumo Hemmerling define os quadriláteros da seguinte forma: (figura 4)
Quadriláteros Notáveis de HemmerlingO livro “Geometria Euclidiana Plana” de João Lucas Marques Barbosa é um dos mais vendidos da Sociedade Brasileira de Matemática a cada ano, desde 1985. É tido como o livro que aborda a geometria axiomática de forma mais acessível para um educando iniciante nos estudos da Geometria Plana Euclidiana. Atualmente é o livro adotado pela Universidade Federal de Pernambuco para a formação de professores de Matemática na cadeira de Geometria Plana. Dessa forma, foi escolhido para a análise das definições dos quadriláteros. As definições seguintes foram adotadas por João Lucas neste livro:
Em resumo João Lucas M.B. classifica os quadriláteros conforme exposto figura 5.
Quadriláteros Notáveis de João Lucas M.B.Note que todos estes matemáticos consideram o conjunto dos quadriláteros como uma bipartição por disjunção, ou seja, não existem paralelogramos que são trapézios e vice – versa. Isto não anula a existência de estudos e literaturas que discutam a possibilidade de o conjunto dos paralelogramos ser um subconjunto do conjunto dos trapézios. É o caso dos estudos dos matemáticos: Guy Laville; Fritz Reinhardt et Heinrich Soeder em seu Atlas des Mathématiques; Vicenzo Bongiovanni na Revista do Professor de Matemática, Nª 72 e José Adelino Serrasqueiro no seu Tratado de Geometria Elementar.
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