Losango (◊) é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Alguns autores exigem ainda que nenhum dos ângulos do quadrilátero seja reto para que ele seja considerado um losango.
Todo losango é um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.
Uma superfície cujos limites são um losango, ou semelhantes a um losango, designa-se por superfície rômbica.
Em Engenharia e em Física, a designação "rombo" é mais comum.
O losango também é chamado de rombo e vem do grego "ῥόμβος" (rhombos), ou seja, algo que gira que deriva do verbo "ρέμβω" (rhembō) que significa voltas e voltas. Já a palavra losango vem do latim arcaico lausa, que designa uma pedra achatada e também derivou na palavra lousa.
A seguir temos algumas propriedades dos losangos e em seguida suas respectivas demonstrações.
Essa propriedade é intuitiva e ela parte do fato de que um losango é um caso especial de um paralelogramo. Como todo paralelogramo possui ângulos opostos congruentes, então todo losango também possui ângulos opostos congruentes.
2° PropriedadePara demonstrar essa propriedade vamos, inicialmente, escrevê-la em notação matemática.
A B C D é um losango de diagonais A C ¯ e B D ¯ ⟹ { A C ¯ é bissetriz de A ^ e C ^ B D ¯ é bissetriz de B ^ e D ^ {\displaystyle ABCD\quad {\text{é um losango de diagonais }}\quad {\overline {AC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{cases}{\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}\\{\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}\end{cases}}}
Por definição temos que todos os lados são congruentes. Assim cada uma das diagonais divide o losango em dois triângulos isósceles.
Visto que todo losango é um paralelogramo, temos também que suas diagonais se interceptam em seus pontos médios. Assim, sendo M {\displaystyle M} o ponto de intersecção das diagonais, temos:
A M ¯ ≡ M C ¯ e B M ¯ ≡ M D ¯ {\displaystyle {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}
Unindo essas duas implicações temos:
A B ¯ ≡ B C ¯ ≡ C D ¯ ≡ D A ¯ , A M ¯ ≡ M C ¯ e B M ¯ ≡ M D ¯ ( L L L ) ⟹ △ A M B ≡ △ C M B ≡ △ C M D ≡ △ A M D {\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}},\quad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}\qquad (LLL)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {AMB}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\equiv \triangle {AMD}}
Visto que todos esses triângulos são congruentes, temos:
A B ^ M ≡ M B ^ C ≡ C D ^ M ≡ M D ^ A ⟹ B D ¯ é bissetriz de B ^ e D ^ {\displaystyle A{\hat {B}}M\equiv {M{\hat {B}}C}\equiv {C{\hat {D}}M}\equiv {M{\hat {D}}A}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {BD}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {B}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {D}}}
M A ^ B ≡ B C ^ M ≡ M C ^ D ≡ D A ^ M ⟹ A C ¯ é bissetriz de A ^ e C ^ {\displaystyle M{\hat {A}}B\equiv {B{\hat {C}}M}\equiv {M{\hat {C}}D}\equiv {D{\hat {A}}M}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\quad {\text{é bissetriz de}}\quad {\hat {A}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {C}}}
Logo, as diagonais de um losango são bissetrizes de seus respectivos ângulos internos.
3° PropriedadeEssa propriedade será demonstrada em duas partes (a 'ida' e a 'volta' do teorema).
Todo losango tem diagonais perpendicularesVamos demonstrar que se um quadrilátero é um losango, então ele é tem as diagonais perpendiculares.
A B C D é losango ⟹ A C ¯ ⊥ B D ¯ {\displaystyle ABCD\quad {\text{é losango}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}
Como todo losango é um paralelogramo (por possuir lados opostos congruentes), temos que suas diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios. Ou seja, sendo A C ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}} e B D ¯ {\displaystyle {\overline {BD}}} as diagonais temos:
M = A C ¯ ∩ B D ¯ ⟹ A M ¯ ≡ M C ¯ e B M ¯ ≡ M D ¯ {\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}
Agora tomamos os seguintes triângulos: △ A M B {\displaystyle \triangle {AMB}} , △ A M D {\displaystyle \triangle {AMD}} , △ C M B {\displaystyle \triangle {CMB}} e △ C M D {\displaystyle \triangle {CMD}} .
Pelo caso de congruência L L L {\displaystyle LLL} , temos as congruências:
△ A M B ≡ △ A M D ≡ △ C M B ≡ △ C M D {\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}} .
Assim verificamos que os ângulos de vértices M {\displaystyle M} são congruentes e suplementares, ou seja: A C ¯ ⊥ B D ¯ {\displaystyle {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}}
Todo paralelogramo que possui diagonais perpendiculares é losangoVamos demonstrar se um paralelogramo possui diagonais perpendiculares, então ele é um losango.
A B C D é um paralelogramo tal que A C ¯ ⊥ B D ¯ ⟹ A B C D é losango {\displaystyle ABCD\quad {\text{é um paralelogramo tal que}}\quad {\overline {AC}}\perp {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {ABCD}\quad {\text{é losango}}}
Como A B C D {\displaystyle ABCD} é paralelogramo, temos que seus lados opostos são congruentes, ou seja:
A B ¯ ≡ C D ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}\equiv {\overline {CD}}} e B C ¯ ≡ A D ¯ {\displaystyle {\overline {BC}}\equiv {\overline {AD}}} .
Também, por ser paralelogramo temos que as diagonais interceptam-se em seus respectivos pontos médios, ou seja:
M = A C ¯ ∩ B D ¯ ⟹ A M ¯ ≡ M C ¯ e B M ¯ ≡ M D ¯ {\displaystyle M={\overline {AC}}\cap {\overline {BD}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AM}}\equiv {\overline {MC}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {BM}}\equiv {\overline {MD}}}
Como diagonais são perpendiculares, temo que :
A M ^ B ≡ B M ^ C ≡ C M ^ D ≡ D M ^ A {\displaystyle A{\hat {M}}B\equiv {B{\hat {M}}C}\equiv {C{\hat {M}}D}\equiv {D{\hat {M}}A}} .
Dessas relações, através do caso de congruência L A L {\displaystyle LAL} , temos:
△ A M B ≡ △ A M D ≡ △ C M B ≡ △ C M D ⟹ A B ¯ ≡ B C ¯ ≡ C D ¯ ≡ D A ¯ {\displaystyle \triangle {AMB}\equiv \triangle {AMD}\equiv \triangle {CMB}\equiv \triangle {CMD}\qquad \Longrightarrow \qquad {\overline {AB}}\equiv {\overline {BC}}\equiv {\overline {CD}}\equiv {\overline {DA}}} .
Logo, A B C D {\displaystyle ABCD} é um losango.
O único losango que não possui dois ângulos agudos (menores que 90°) e dois ângulos obtusos (maiores que 90°) é o quadrado. O quadrado possui quatro ângulos iguais a 90°.
Existem varias formas de se visualizar a fórmula da área. A mais usual é partindo do que se conhece sobre a fórmula da área do paralelogramo. A área A de um paralelogramo é o produto da sua base pela sua altura (h na ilustração). No losango qualquer lado, todos de comprimento a, se presta a fazer o papel de base:
A = a ⋅ h = a ⋅ 2 r {\displaystyle A=a\cdot h=a\cdot 2r}Outra forma usual de visualizar a área do losango, é percebendo que o traçado de suas diagonais permite dividi-lo em quatro triângulos retângulos simétricos e de mesma área:
A = 4 ⋅ K = p ⋅ q 2 {\displaystyle A=4\cdot K={\frac {p\cdot q}{2}}}onde K é a área de um dos triângulos, p e q as diagonais do losango. A correspondência com a área da primeira abordagem é demonstrada na análise do incentro.
Uma terceira forma, se baseia na primeira, mas expressando h como projeção de um lado a, ou seja, como cateto oposto do ângulo α {\displaystyle \alpha } , portando expressando através do seno,
A = a 2 ⋅ sin α = a 2 ⋅ sin β , {\displaystyle A=a^{2}\cdot \sin \alpha =a^{2}\cdot \sin \beta ,}onde é lembrado que o seno de qualquer ângulo do losango é o mesmo (num paralelogramo os ângulos são suplementares entre si).
Para calcular o raio do incentro de um losango, basta usar a seguinte fórmula considerando p e q como diagonais dele.
r = p ⋅ q 2 p 2 + q 2 . {\displaystyle r={\frac {p\cdot q}{2{\sqrt {p^{2}+q^{2}}}}}.}observando o triângulo-retângulo de hipotenusa a e catetos p/2 e q/2, concluímos que a área K de cada triângulo ilustrado é:
K = a ⋅ r / 2 = p ⋅ q 8 {\displaystyle K=a\cdot r/2={\frac {p\cdot q}{8}}}Também pode ser aplicada a seguinte fórmula para o cálculo da área de um losango:
Área=D*d/2
D representa o comprimento de sua diagonal maior e d representa o comprimento de sua diagonal menor.
Ou seja, a área de um losango é a metade do produto de suas diagonais.