Subgrupo

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Em teoria dos grupos, um subgrupo de um grupo G é um subconjunto H de G que também seja um grupo para a mesma operação. Sejam ${\displaystyle (G,*)}$ um grupo e ${\displaystyle H}$ um subconjunto não vazio de ${\displaystyle G}$. Dizemos que ${\displaystyle H}$ é um subgrupo de ${\displaystyle G}$ se ${\displaystyle H}$ é fechado para a operação de ${\displaystyle G}$ e é um grupo. Notação: ${\displaystyle H\leq G.}$

• Os subgrupos de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ são os conjuntos ${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ dos múltiplos de ${\displaystyle n\,\!}$, para cada ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$.
• ${\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}$ é um subgrupo de ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+);}$
• O conjunto ${\displaystyle \{1,i,-i,-1\}}$ é um subgrupo dos (${\displaystyle \mathbb {C} ,\cdot )}$ com a multiplicação usual de números complexos..

Para verifcar se um dado subconjunto de um grupo é um subgrupo, precisamos mostrar que ele é fechado para a operação do grupo e provar as três condições da definição de grupo. Contudo a proposição abaixo facilita este trabalho.

Proposição 1: Seja ${\displaystyle H}$ um subconjunto não vazio de um grupo ${\displaystyle G}$.Então ${\displaystyle H}$ é um subgrupo de ${\displaystyle G}$ se e somente se, para todo ${\displaystyle a,b\in H}$ implica que ${\displaystyle a*b^{-1}\in H.}$

Os grupos têm as seguintes propriedades hereditárias, isto é, se um grupo tem uma das propriedades seguintes, também os seus subgrupos a têm:

• finitude
• comutatividade
• ciclicidade

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