Subconjunto
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Diagrama de Euler ilustrando o fato de que
A
{\displaystyle A}
![{\displaystyle A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
é subconjunto de
B
{\displaystyle B}
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
ou, equivalentemente, que
B
{\displaystyle B}
![{\displaystyle B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
é superconjunto de
A
{\displaystyle A}
Em teoria dos conjuntos, quando todo elemento de um conjunto
A
{\displaystyle A}
é também elemento de um conjunto
B
{\displaystyle B}
, dizemos que
A
{\displaystyle A}
é um subconjunto de
B
{\displaystyle B}
, denotado
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
(também dito "
A
{\displaystyle A}
é uma parte de
B
{\displaystyle B}
" ou "
A
{\displaystyle A}
está contido em
B
{\displaystyle B}
").
De forma complementar,
B
{\displaystyle B}
é chamado um superconjunto de
A
{\displaystyle A}
, simbolizado como
B
⊇
A
{\displaystyle B\supseteq A}
(também dito "
B
{\displaystyle B}
contém
A
{\displaystyle A}
" ou "
B
{\displaystyle B}
tem
A
{\displaystyle A}
como parte"). Esta relação é conhecida por inclusão de conjuntos. Em linguagem simbólica, utilizando a noção de quantificação universal (∀), temos:
A
⊆
B
=
=
d
e
f
∀
x
(
x
∈
A
→
x
∈
B
)
.
{\displaystyle A\subseteq B{\stackrel {\mathbf {def} }{=\!=}}\forall x(x\in A\rightarrow x\in B).}
Propriedades
- A inclusão de conjuntos é uma relação reflexiva, ou seja,
A
⊆
A
{\displaystyle A\subseteq A}
qualquer que seja o conjunto
A
.
{\displaystyle A.}
Realmente, a condicional
p
→
p
{\displaystyle p\rightarrow p}
é uma tautologia. Assim,
x
∈
A
→
x
∈
A
{\displaystyle x\in A\rightarrow x\in A}
tanto se
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
como também se
x
∉
A
.
{\displaystyle x\not \in A.}
E, por definição,
∀
x
(
x
∈
A
→
x
∈
A
)
⇒
A
⊆
A
.
{\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.}
![{\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow x\in A)\Rightarrow A\subseteq A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f192ec382b419fabcc5f75f00b2f4342a6dbd2b)
- A inclusão de conjuntos é uma relação transitiva, ou seja, se
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
e
B
⊆
C
,
{\displaystyle B\subseteq C,}
então
A
⊆
C
.
{\displaystyle A\subseteq C.}
Se
A
=
∅
,
{\displaystyle A=\varnothing ,}
A
⊆
C
{\displaystyle A\subseteq C}
(e assumir que
B
⊆
C
{\displaystyle B\subseteq C}
é irrelevante). Então, assuma que
A
≠
∅
{\displaystyle A\neq \varnothing }
e seja
x
∈
A
.
{\displaystyle x\in A.}
Por hipótese,
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
e, pela definição de inclusão,
x
∈
B
.
{\displaystyle x\in B.}
Assim,
B
≠
∅
.
{\displaystyle B\neq \varnothing .}
Também por hipótese
B
⊆
C
,
{\displaystyle B\subseteq C,}
isto é, se
y
∈
B
{\displaystyle y\in B}
também
y
∈
C
.
{\displaystyle y\in C.}
Em particular, para
y
=
x
{\displaystyle y=x}
temos
x
∈
C
.
{\displaystyle x\in C.}
Como
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
era arbitrário, todo elemento de
A
{\displaystyle A}
é também elemento de
C
,
{\displaystyle C,}
ou seja,
A
⊆
C
.
{\displaystyle A\subseteq C.}
![{\displaystyle A\subseteq C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba7d018aae4db505fdd61e3d8df0012c83d56a2b)
- A inclusão de conjuntos é uma relação antissimétrica, ou seja, se
A
⊆
B
{\displaystyle A\subseteq B}
e
B
⊆
A
,
{\displaystyle B\subseteq A,}
então
A
=
B
.
{\displaystyle A=B.}
De fato, isto é o que diz o axioma da extensão.
- Pelas três propriedades acima, dado um conjunto não-vazio
A
{\displaystyle A}
e uma coleção
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
de subconjuntos de
A
,
{\displaystyle A,}
a relação de inclusão
⊆
{\displaystyle \subseteq }
é uma relação de ordem parcial em
C
.
{\displaystyle {\mathcal {C}}.}
A inclusão de conjuntos é a relação de ordem parcial canônica — no sentido de que todo conjunto parcialmente ordenado (X,
⪯
{\displaystyle \preceq }
) é isomorfo a alguma coleção de conjuntos ordenada pela inclusão. Os números ordinais constituem um exemplo simples — se cada ordinal
n
{\displaystyle n}
é identificado com o conjunto
{\displaystyle }
de todos os ordinais menores ou igual a
n
,
{\displaystyle n,}
então
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
se e somente se
⊆
.
{\displaystyle \subseteq .}
![{\displaystyle \subseteq .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86c0b0cba950301eacc0a11b017b876d2460a33f)
Subconjunto próprio
Dizemos que um conjunto
B
{\displaystyle B}
é um subconjunto próprio de um conjunto
A
{\displaystyle A}
se
B
⊆
A
{\displaystyle B\subseteq A}
(
B
{\displaystyle B}
é subconjunto de
A
{\displaystyle A}
) e
B
≠
A
{\displaystyle B\neq A}
(
B
{\displaystyle B}
é diferente de
A
{\displaystyle A}
). Explicitamos este fato com a notação especial
B
⊊
A
;
{\displaystyle B\subsetneq A;}
ou ainda
A
⊋
B
{\displaystyle A\supsetneq B}
(lê-se: A é um superconjunto próprio de B). Isto quer dizer que
B
{\displaystyle B}
está estritamente contido em
A
,
{\displaystyle A,}
ou seja, existe pelo menos um
x
∈
A
{\displaystyle x\in A}
tal que
x
∉
B
.
{\displaystyle x\not \in B.}
Em particular, o conjunto vazio é um subconjunto próprio de todo conjunto não-vazio. E, evidentemente,
A
{\displaystyle A}
é o único subconjunto de um conjunto
A
≠
∅
{\displaystyle A\neq \varnothing }
que não é próprio. Assim, dizemos que
A
{\displaystyle A}
é um subconjunto impróprio (superconjunto impróprio) de
A
.
{\displaystyle A.}
Exemplos
- O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto dado.
- O conjunto {1, 2} é um subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
- O conjunto {x : x é um número primo maior do que 10} é um subconjunto próprio de {x : x é um número ímpar maior do que 10}.
- O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma cardinalidade.
- O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade inferior.
Ver também
Notas
- ↑ Uma notação alternativa para
A
{\displaystyle A}
é subconjunto de
B
{\displaystyle B}
, tão comum quanto
A
⊆
B
,
{\displaystyle A\subseteq B,}
é
A
⊂
B
.
{\displaystyle A\subset B.}
Similarmente, usa-se também
B
⊃
A
{\displaystyle B\supset A}
para denotar que
B
{\displaystyle B}
é superconjunto de
A
{\displaystyle A}
.
Referências
Ligações externas