Álgebra de Banach

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Em análise funcional, uma álgebra de Banach A é um espaço de Banach e uma álgebra associativa sobre um corpo (normalmente R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ ou C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ ), em que o produto ∗ {\displaystyle *} $*$ é associativo e a norma satisfaz:

| | u ∗ v | | ≤ | | u | | | | v | | {\displaystyle ||u*v||\leq ||u||||v||} $||u*v||\leq ||u||||v||$ , para todo par u , v ∈ A {\displaystyle u,v\in A} $u,v\in A$

Essa propriedade garante que a operação multiplicação é contínua.

Se existe uma identidade multiplicativa I {\displaystyle I} $I$ , chamamos I {\displaystyle I} $I$ de unidade
Uma álgebra de Banach é dita unital se se tiver identidade multiplicativa I {\displaystyle I} $I$ de modo que | | I | | = 1 {\displaystyle ||I||=1} $||I||=1$ . Podemos provar se a álgebra de Banach possui unidade, há uma norma equivalente onde ela será unital
Dizemos que a álgebra é comutativa se a operação ∗ {\displaystyle *} $*$ for comutativa
Se B ⊂ A {\displaystyle B\subset A} $B\subset A$ e B {\displaystyle B} $B$ é álgebra com a mesma multiplicação de A {\displaystyle A} $A$ , então dizemos que B {\displaystyle B} $B$ é subálgebra de A {\displaystyle A} $A$
Toda álgebra de Banach é isométrica a uma subálgebra de uma álgebra unital de Banach. Isto garante que toda álgebra de Banach pode ser vista como subálgebra de uma que seja Banach e unital

Por causa do ultimo item acima é comum presumir que sempre tratamos de uma álgebra de Banach unital. Dizemos que um elemento x ∈ A {\displaystyle x\in A} $x\in A$ é inversível se existe y ∈ A {\displaystyle y\in A} $y\in A$ de modo que x ∗ y = y ∗ x = I {\displaystyle x*y=y*x=I} $x*y=y*x=I$ . Uma C {\displaystyle C} $C$ *-álgebra é uma álgebra de Banach munida de uma involução satisfazendo propriedades da adjunta.

Alguns fatos

Toda C ⋆ {\displaystyle C^{\star }} $C^{\star }$ -álgebra é uma álgebra de Banach, por definição.
Em uma álgebra de Banach, o espectro de um elemento é um subconjunto fechado de C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ .
A soma direta de álgebras de Banach ainda é uma álgebra de Banach.
Toda álgebra de Banach sobre os reais que é também uma álgebra com divisão é isomorfa ou aos reais ou aos complexos ou aos quatérnios. Isso implica que a única álgebra de Banach sobre os complexos que é também álgebra com divisão é os próprio C {\displaystyle \mathbb {C} } $\mathbb {C}$ (Teorema de Gelfand–Mazur)
Numa álgebra de Banach unital, o conjunto dos elementos invertíveis forma um conjunto aberto (na topologia do espaço topológico induzido pela norma)
Numa álgebra de Banach unital sobre os reais ou sobre os complexos, se x {\displaystyle x} $x$ é elemento da álgebra de modo que | | x − I | | < 1 {\displaystyle ||x-I||<1} $||x-I||<1$ , então x {\displaystyle x} $x$ é inversível

Alguns exemplos

O conjunto dos reais (ou dos complexos) forma uma álgebra de Banach com a norma dada pelo módulo
O espaço de n-uplas reais R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} $\mathbb {R} ^{n}$ (ou complexas C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} $\mathbb {C} ^{n}$ ) é uma ágebra de Banach com a norma | | ( x 1 , . . . , x n ) | | = m a x { | x i | : i = 1 , 2 , 3 , . . . , n } {\displaystyle ||(x_{1},...,x_{n})||=max\{|x_{i}|:i=1,2,3,...,n\}} $||(x_{1},...,x_{n})||=max\{|x_{i}|:i=1,2,3,...,n\}$ e o produto termo a termo
Os quatérnios são uma álgebra de Banach sobre os reais, com a norma sendo o valor absoluto
Os quatérnios não formam uma álgebra de Banach sobre os complexos

Teoria espectral

Álgebras unitais sobre os complexos dão um contexto base para a teoria espectral. Dado x ∈ A {\displaystyle x\in A} $x\in A$ elemento da álgebra de Banach unital sobre os complexos, definimos o espectro de x {\displaystyle x} $x$ como σ ( x ) = { λ ∈ C : x − λ I não é invertivel } {\displaystyle \sigma (x)=\{\lambda \in \mathbb {C} :x-\lambda I~~{\text{não é invertivel}}\}} $\sigma (x)=\{\lambda \in \mathbb {C} :x-\lambda I~~{\text{não é invertivel}}\}$ . O espectro de um elemento, nestas condições, é compacto e não vazio sempre e satisfaz a formula do raio espectral:

sup { | λ | : λ ∈ σ ( x ) } = lim n → ∞ | | x n | | 1 / n {\displaystyle \sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim \limits _{n\to \infty }||x^{n}||^{1/n}} $\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim \limits _{n\to \infty }||x^{n}||^{1/n}$

Referências

↑ a b Exel, Ruy. «Uma introdução às C*-álgebras» (PDF)