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Círculo | |
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Um círculo circunfêrencia C diâmetro D raio R centro ou origem O |
Na geometria, um círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo o conjunto de pontos cuja distância ao centro O {\displaystyle O} é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio r {\displaystyle r} ). A área A {\displaystyle A} de um círculo pode ser expressa matematicamente por:
A = π × r 2 {\displaystyle A=\pi \times r^{2}}onde r {\displaystyle r} é o raio da circunferência e π {\displaystyle \pi } (Pi) uma constante.
O círculo é conhecido desde antes do início da história registrada. Os círculos naturais são comuns, como a lua cheia ou uma fatia de fruta redonda. O círculo é a base da roda, que, com invenções relacionadas, como as engrenagens, torna possível grande parte do maquinário moderno. Na matemática, o estudo do círculo ajudou a inspirar o desenvolvimento da geometria, da astronomia e do cálculo.
A palavra círculo deriva do grego κίρκος/κύκλος (kirkos/kuklos), que é uma metátese do grego homérico κρίκος (krikos), que significa "aro" ou "anel". As origens das palavras circo e circuito estão intimamente relacionadas.
Todas as regiões especificadas podem ser consideradas como abertas, ou seja, não contendo seus limites, ou como fechadas, incluindo seus respectivos limites.
Os povos pré-históricos fizeram círculos de pedra e círculos de madeira, e elementos circulares são comuns em petróglifos e pinturas rupestres. Os artefatos pré-históricos em forma de disco incluem o Disco de Nebra e os discos de jade chamados Bi.
O papiro egípcio de Rhind, datado de 1700 a.C., apresenta um método para encontrar a área de um círculo. O resultado corresponde a 25681 (3,16049...) como um valor aproximado de π {\displaystyle \pi } .
O Livro 3 de Os Elementos de Euclides trata das propriedades dos círculos. A definição de círculo de Euclides é a seguinte:
Uma circunferência é uma figura plana delimitada por uma linha curva e tal que todas as linhas retas traçadas de um certo ponto dentro dela até a linha de delimitação são iguais. A linha de delimitação é chamada de circunferência e o ponto, de centro.— Euclides, Os Elementos, Livro INa Sétima Carta de Platão, há uma definição e explicação detalhadas do círculo. Platão explica o círculo perfeito e como ele é diferente de qualquer desenho, palavra, definição ou explicação. A ciência primitiva, particularmente a geometria, a astrologia e a astronomia, estava ligada ao divino para a maioria dos estudiosos medievais, e muitos acreditavam que havia algo intrinsecamente "divino" ou "perfeito" que poderia ser encontrado nos círculos.
Em 1880 d.C., Ferdinand von Lindemann provou que π {\displaystyle \pi } é transcendente, demonstrando que o problema milenar da quadratura do círculo não pode ser realizado com régua e compasso.
Com o advento da arte abstrata no início do século XX, os objetos geométricos se tornaram um tema artístico por si só. Wassily Kandinsky, em particular, usava círculos com frequência como um elemento de suas composições.
Desde os tempos das primeiras civilizações conhecidas - como os assírios e os egípcios antigos, os do Vale do Indo e ao longo do Rio Amarelo na China, e as civilizações ocidentais da Grécia e Roma antigas durante a Antiguidade Clássica - o círculo tem sido usado direta ou indiretamente na arte visual para transmitir a mensagem do artista e expressar determinadas ideias. No entanto, as diferenças de visão de mundo (crenças e cultura) tiveram um grande impacto sobre as percepções dos artistas. Enquanto alguns enfatizaram o perímetro do círculo para demonstrar sua manifestação democrática, outros se concentraram em seu centro para simbolizar o conceito de unidade cósmica. Nas doutrinas místicas, o círculo simboliza principalmente a natureza infinita e cíclica da existência, mas nas tradições religiosas ele representa corpos celestes e espíritos divinos.
O círculo significa muitos conceitos sagrados e espirituais, incluindo unidade, infinidade, totalidade, universo, divindade, equilíbrio, estabilidade e perfeição, entre outros. Tais conceitos foram transmitidos em culturas do mundo todo por meio do uso de símbolos, por exemplo, uma bússola, um halo, a vesica piscis e seus derivados (peixe, olho, aureola, mandorla etc.), o ouroboros, a roda do darma, um arco-íris, mandalas, rosáceas etc. Os círculos mágicos fazem parte de algumas tradições do esoterismo ocidental.
Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por S = p ⋅ a {\displaystyle S=p\cdot a} , onde p {\displaystyle p} é o semiperímetro do polígono e a {\displaystyle a} é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta, p {\displaystyle p} converge para a metade do comprimento da circunferência ( π R {\displaystyle \pi R} ) e a {\displaystyle a} converge para o raio ( R {\displaystyle R} ). Assim S {\displaystyle S} converge para π R ⋅ R = π R 2 {\displaystyle \pi R\cdot R=\pi R^{2}} . Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é π R 2 {\displaystyle \pi R^{2}} .
Seja f uma semicircunferência tal que:
f ( x ) = R 2 − x 2 {\displaystyle f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}}Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:
F ( x ) = ∫ a x f ( t 2 ) d t {\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t^{2})dt}uma circunferência em R 2 : {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}:}
x 2 + y 2 = R 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}Em geometria analítica é possível descrever o circulo como o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual a um valor r {\displaystyle r} (chamado de raio) de um ponto O {\displaystyle O} fixo (chamado de centro ou origem).
Numericamente pode-se descrever o circulo pela seguinte equação:
( x − x o ) 2 + ( y − y o ) 2 ≤ r 2 {\displaystyle \left(x-x_{o}\right)^{2}+\left(y-y_{o}\right)^{2}\leq r^{2}}
Onde x c {\displaystyle x_{c}} e y c {\displaystyle y_{c}} são as coordenadas do centro O {\displaystyle O} e r {\displaystyle r} o raio do circulo.
A razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro é π {\displaystyle \pi } (pi), uma constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Assim, a circunferência O {\displaystyle O} está relacionada ao raio r {\displaystyle r} e ao diâmetro d por:
O = 2 π r = π d . {\displaystyle O=2\pi r=\pi d.} Área
Conforme demonstrado por Arquimedes, em sua obra A Medida do Círculo, a área delimitada por um círculo é igual à de um triângulo cuja base tem o comprimento da circunferência do círculo e cuja altura é igual ao raio do círculo, o que resulta em
π
{\displaystyle \pi }
multiplicado pelo raio ao quadrado:
A circunferência é a curva plana que abrange a área máxima para um determinado comprimento de arco. Isso relaciona o círculo a um problema no cálculo de variações, a saber, a desigualdade isoperimétrica.
Em um sistema de coordenadas cartesianas x , y {\displaystyle x,y} , a circunferência com coordenadas de centro ( a , b {\displaystyle a,b} ) e raio r {\displaystyle r} é o conjunto de todos os pontos ( x , y {\displaystyle x,y} ) de modo que
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 . {\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.} Essa equação, conhecida como equação da circunferência, decorre do teorema de Pitágoras aplicado a qualquer ponto da circunferência: conforme mostrado no diagrama ao lado, o raio é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos outros lados têm comprimento | x − a | {\displaystyle |x-a|} e | y − b | {\displaystyle |y-b|} . Se o círculo estiver centrado na origem ( 0 , 0 {\displaystyle 0,0} ), então a equação se simplifica para x 2 + y 2 = r 2 . {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.} Forma paramétrica A equação pode ser escrita na forma paramétrica usando as funções trigonométricas seno e cosseno como x = a + r cos t , y = b + r sen t , {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\operatorname {sen} t,\end{aligned}}} em que t é uma variável paramétrica no intervalo de 0 {\displaystyle 0} a 2 π {\displaystyle 2\pi } , interpretada geometricamente como o ângulo que o raio de ( a , b {\displaystyle a,b} ) a ( x , y {\displaystyle x,y} ) faz com o eixo x {\displaystyle x} positivo.Uma parametrização alternativa do círculo é
x = a + r 1 − t 2 1 + t 2 , y = b + r 2 t 1 + t 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}} Nessa parametrização, a proporção de t {\displaystyle t} para r {\displaystyle r} pode ser interpretada geometricamente como a projeção estereográfica da linha que passa pelo centro paralelamente ao eixo x {\displaystyle x} (consulte substituição de meio-ângulo tangente). No entanto, essa parametrização funciona somente se t {\displaystyle t} for feito para abranger não somente todos os reais, mas também um ponto no infinito; caso contrário, o ponto mais à esquerda do círculo seria omitido. Determinação por três pontosA equação da circunferência determinada por três pontos ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})} não em uma linha é obtida por uma conversão da forma de 3 pontos de uma equação de círculo:
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) ( y − y 1 ) ( x − x 2 ) − ( y − y 2 ) ( x − x 1 ) = ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) + ( y 3 − y 1 ) ( y 3 − y 2 ) ( y 3 − y 1 ) ( x 3 − x 2 ) − ( y 3 − y 2 ) ( x 3 − x 1 ) . {\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.} Forma homogênea Em coordenadas homogêneas, cada seção cônica com a equação de um círculo tem a forma x 2 + y 2 − 2 a x z − 2 b y z + c z 2 = 0. {\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.} Pode-se provar que uma seção cônica é um círculo exatamente quando ela contém (quando estendida ao plano projetivo complexo) os pontos I ( 1 : i : 0 ) {\displaystyle I(1:i:0)} e J ( 1 : − i : 0 ) {\displaystyle J(1:-i:0)} . Esses pontos são chamados de pontos circulares no infinito. Coordenadas polaresEm coordenadas polares, a equação de um círculo é
r 2 − 2 r r 0 cos ( θ − ϕ ) + r 0 2 = a 2 , {\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},} onde a {\displaystyle a} é o raio do círculo, ( r , θ ) {\displaystyle (r,\theta )} são as coordenadas polares de um ponto genérico no círculo, e ( r 0 , ϕ ) {\displaystyle (r_{0},\phi )} as coordenadas polares do centro da circunferência (ou seja, r 0 {\displaystyle r_{0}} é a distância da origem até o centro da circunferência e ϕ {\displaystyle \phi } é o ângulo anti-horário do eixo x {\displaystyle x} positivo até a linha que liga a origem ao centro da circunferência). Para um círculo centrado na origem, ou seja, r 0 = 0 {\displaystyle r_{0}=0} , isso se reduz a r = a {\displaystyle r=a} . Quando r 0 = a {\displaystyle r_{0}=a} , ou quando a origem está no círculo, a equação se torna r = 2 a cos ( θ − ϕ ) . {\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).} No caso geral, a equação pode ser resolvida para r {\displaystyle r} , dando r = r 0 cos ( θ − ϕ ) ± a 2 − r 0 2 sin 2 ( θ − ϕ ) . {\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.} Sem o sinal ± {\displaystyle \pm } , a equação descreveria, em alguns casos, apenas metade de um círculo. Plano complexoNo plano complexo, um círculo com centro em o {\displaystyle o} e raio r {\displaystyle r} tem a equação
| z − o | = r . {\displaystyle |z-o|=r.} Na forma paramétrica, isso pode ser escrito como z = r e i t + o . {\displaystyle z=re^{it}+o.} A equação ligeiramente generalizada p z z ¯ + g z + g z ¯ = q {\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q} para p {\displaystyle p} , q {\displaystyle q} reais e g {\displaystyle g} complexo às vezes é chamado de círculo generalizado. Isso se torna a equação acima para um círculo com p = 1 , g = − o ¯ , q = r 2 − | o | 2 {\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {o}},\ q=r^{2}-|o|^{2}} já que | z − o | 2 = z z ¯ − o ¯ z − c z ¯ + c o ¯ {\displaystyle |z-o|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {o}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {o}}} . Nem todos os círculos generalizados são de fato círculos: um círculo generalizado é um círculo (verdadeiro) ou uma linha.A linha tangente que passa por um ponto P {\displaystyle P} na circunferência é perpendicular ao diâmetro que passa por P {\displaystyle P} . Se P = ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle P=(x_{1},y_{1})} e a circunferência tem centro ( a , b {\displaystyle a,b} ) e raio r {\displaystyle r} , então a linha tangente é perpendicular à linha de ( a , b {\displaystyle a,b} ) a ( x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ), de modo que tem a forma ( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = c {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=c} . A avaliação em ( x 1 , y 1 {\displaystyle x_{1},y_{1}} ) determina o valor de c {\displaystyle c} , e o resultado é que a equação da tangente é
( x 1 − a ) x + ( y 1 − b ) y = ( x 1 − a ) x 1 + ( y 1 − b ) y 1 , {\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}ou
( x 1 − a ) ( x − a ) + ( y 1 − b ) ( y − b ) = r 2 . {\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}Se y 1 ≠ b {\displaystyle y_{1}\neq b} , então a inclinação dessa linha é
d y d x = − x 1 − a y 1 − b . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}Isso também pode ser encontrado usando a diferenciação implícita.
Quando o centro do círculo está na origem, a equação da reta tangente se torna
d y d x = − x 1 − a y 1 − b . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}e sua inclinação é
d y d x = − x 1 y 1 . {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}Um ângulo inscrito (exemplos são os ângulos azul e verde na figura) é exatamente a metade do ângulo central correspondente (vermelho). Portanto, todos os ângulos inscritos que subtendem o mesmo arco (rosa) são iguais. Os ângulos inscritos no arco (marrom) são suplementares. Em particular, todo ângulo inscrito que subtende um diâmetro é um ângulo reto (já que o ângulo central é 180°).
Há muitas construções de compasso e régua que resultam em círculos.
A mais simples e mais básica é a construção em que se dá o centro do círculo e um ponto no círculo. Coloque a perna fixa do compasso no ponto central, a perna móvel no ponto do círculo e gire o compasso.
Apolônio de Perga mostrou que um círculo também pode ser definido como o conjunto de pontos em um plano com uma razão constante (diferente de 1) de distâncias para dois focos fixos, A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} . O conjunto de pontos em que as distâncias são iguais é a bissetriz perpendicular do segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , uma linha. Às vezes, diz-se que esse círculo é desenhado em torno de dois pontos.
A prova está dividida em duas partes. Primeiro, é preciso provar que, dados dois focos A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} e uma razão de distâncias, qualquer ponto P {\displaystyle P} que satisfaça a razão de distâncias deve cair em um círculo específico. Seja C {\displaystyle C} outro ponto, também satisfazendo a razão e situado no segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} . Pelo teorema da bissetriz do ângulo, o segmento de reta P C ¯ {\displaystyle {\overline {PC}}} dividirá o ângulo interno A P B ^ {\displaystyle {\widehat {APB}}} , já que os segmentos são semelhantes:
A P B P = A C B C . {\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}Da mesma forma, um segmento de reta P D ¯ {\displaystyle {\overline {PD}}} que passa por algum ponto D {\displaystyle D} em A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} estendido divide o ângulo externo correspondente BPQ, onde Q está em AP estendido. Como os ângulos interno e externo somam 180 graus, o ângulo C P D ^ {\displaystyle {\widehat {CPD}}} é exatamente 90 graus, ou seja, um ângulo reto. O conjunto de pontos P {\displaystyle P} em que o ângulo C P D ^ {\displaystyle {\widehat {CPD}}} é um ângulo reto forma um círculo, do qual C D ¯ {\displaystyle {\overline {CD}}} é o diâmetro.
Em segundo lugar, consulte:15 para uma prova de que todos os pontos do círculo indicado satisfazem a proporção dada.
Uma propriedade dos círculos intimamente relacionada envolve a geometria da razão cruzada de pontos no plano complexo. Se A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} forem como acima, então o círculo de Apolônio para esses três pontos é o conjunto de pontos P {\displaystyle P} para os quais o valor absoluto da razão cruzada é igual a um:
| | = 1. {\displaystyle {\bigl |}{\bigr |}=1.}Em outras palavras, P {\displaystyle P} é um ponto no círculo de Apolônio se e somente se a relação cruzada {\displaystyle } estiver no círculo unitário no plano complexo.
Veja também: Círculo generalizado
Se M {\displaystyle M} for o ponto médio do segmento A B ¯ {\displaystyle {\overline {AB}}} , então o conjunto de pontos P {\displaystyle P} que satisfazem a condição de Apolônio
| A P | | B P | = | A C | | B C | {\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}} não é um círculo, mas sim uma linha.Assim, se A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e C {\displaystyle C} são pontos distintos no plano, então o local dos pontos P {\displaystyle P} que satisfazem a equação acima é chamado de "círculo generalizado". Ele pode ser um círculo verdadeiro ou uma linha. Nesse sentido, uma linha é um círculo generalizado de raio infinito.
Em todo triângulo, um único círculo, chamado de círculo inscrito, pode ser inscrito de modo que seja tangente a cada um dos três lados do triângulo.
Em todo triângulo, um único círculo, chamado de circunferência circunscrita, pode ser circunscrito de modo que passe por cada um dos três vértices do triângulo.
Um polígono tangencial, como um quadrilátero tangencial, é qualquer polígono convexo no qual pode ser inscrita uma circunferência tangente a cada lado do polígono. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono tangencial.
Um polígono cíclico é qualquer polígono convexo em torno do qual um círculo pode ser circunscrito, passando por cada vértice. Um exemplo bem estudado é o quadrilátero cíclico. Todo polígono regular e todo triângulo é um polígono cíclico. Um polígono que é cíclico e tangencial é chamado de polígono bicêntrico.
Uma hipocicloide é uma curva que é inscrita em um determinado círculo, traçando um ponto fixo em um círculo menor que rola dentro do círculo dado e é tangente a ele.
O círculo pode ser visto como um caso limite de várias outras figuras:
Considere um conjunto finito de n {\displaystyle n} pontos no plano. O local dos pontos em que a soma dos quadrados das distâncias aos pontos dados é constante é um círculo, cujo centro está no centroide dos pontos dados. Uma generalização para potências maiores de distâncias é obtida se sob n {\displaystyle n} aponta os vértices do polígono regular P n {\displaystyle P_{n}} forem tomados. O local dos pontos em que a soma da 2 m {\displaystyle 2m} -ésima potência das distâncias d i {\displaystyle d_{i}} aos vértices de um determinado polígono regular com circunferência de raio R {\displaystyle R} é constante é um círculo, se
∑ i = 1 n d i 2 m > n R 2 m , where m = 1 , 2 , … , n − 1 ; {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}cujo centro é o centroide do P n {\displaystyle P_{n}}
No caso do triângulo equilátero, os loci das somas constantes da segunda e quarta potências são círculos, enquanto no caso do quadrado, os loci são círculos para as somas constantes da segunda, quarta e sexta potências. Para o pentágono regular, a soma constante das oitavas potências das distâncias será adicionada e assim por diante.
A quadratura do círculo é o problema, proposto por geômetras antigos, de construir um quadrado com a mesma área de um determinado círculo usando apenas um número finito de passos com compasso e régua.
Em 1882, foi provado que a tarefa era impossível, como consequência do teorema de Lindemann-Weierstrass, que prova que pi ( π {\displaystyle \pi } ) é um número transcendental, e não um número algébrico irracional; ou seja, não é a raiz de nenhum polinômio com coeficientes racionais. Apesar da impossibilidade, esse tópico continua a ser de interesse para os entusiastas da pseudomatemática.