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Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é
f ′ = f , {\displaystyle f'=f,\,}onde f {\displaystyle f} é uma função desconhecida, e f ′ {\displaystyle f'} a sua derivada.
Seja y uma função de x e que
y ′ , y ″ , … , y ( n ) {\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}denote as suas derivadas
d y d x , d 2 y d x 2 , … , d n y d x n {\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}} .Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve
x , y , y ′ , y ″ , … {\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots } .A ordem de uma equação diferencial é a ordem n {\displaystyle n} da maior derivada na equação.
Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.
Quanto à linearidade: uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função
F ( x , y ′ , y ″ , … , y ( n ) ) = 0 {\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0} . Dizemos que a equação diferencial é linear se F {\displaystyle F} for linear em y , y ′ ( x ) , … , y ( n ) ( x ) {\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)} .Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.
Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma
F ( x , y ′ , y ″ , … , y ( n ) ) = 0 {\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma
F ( x , y ′ , y ″ , … , y ( n − 1 ) ) = y ( n ) {\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}é designada equação diferencial explícita.
Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.
Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.
Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.
Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.
Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).
Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:
d d t N ( t ) = c N ( t ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}Pelo cálculo da função N ( t ) {\displaystyle N(t)\!} nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.
Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial
m a = m d 2 d t 2 x ( t ) = − k x ( t ) . {\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}A função procurada aqui é a função x ( t ) {\displaystyle x(t)\!} , cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.
Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como
f n ( x ) y ( n ) ( x ) + f n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) ( x ) + … + f 1 ( x ) y ′ ( x ) + f 0 ( x ) y ( x ) = q ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)y^{(n)}(x)+f_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f_{1}(x)y'(x)+f_{0}(x)y(x)=q(x)\,}Esta equação é de grau n quando a função fn(x) não é identicamente nula.
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.
Exemplo
y ′ + y = 0 {\displaystyle y'+y=0}
Solução particular: y ( x ) = e − x {\displaystyle y(x)=e^{-x}}
Solução geral: y ( x ) = C e − x {\displaystyle y(x)=Ce^{-x}} (C constante)
As soluções se classificam em:
A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo. Os métodos mais conhecidos são:
Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas:
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