Tabela de derivadas

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
CálculoDefinições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveisFormalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

A operação primária do cálculo diferencial é encontrar a derivada de uma função. Na tabela a seguir, supomos que f {\displaystyle f} $f$ e g {\displaystyle g} $g$ são funções deriváveis em R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ e c {\displaystyle c} $c$ é um número real. Essas fórmulas são suficientes para derivar qualquer função elementar. Demonstrações destas fórmulas podem ser obtidas em livros de cálculo diferencial e integral .

Regras gerais de derivação

Regra da soma

( f + g ) ′ = f ′ + g ′ {\displaystyle \left({f+g}\right)'=f'+g'} $\left({f+g}\right)'=f'+g'$

Regra da subtração

( f − g ) ′ = f ′ − g ′ {\displaystyle (f-g)'=f'-g'} $(f-g)'=f'-g'$

Regra da multiplicação

( c f ) ′ = c f ′ {\displaystyle (cf)'=cf'} $(cf)'=cf'$

Regra do produto

( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ {\displaystyle \left({fg}\right)'=f'g+fg'} $\left({fg}\right)'=f'g+fg'$

Regra do quociente

( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 {\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}} $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ sendo esta válida para todo x {\displaystyle x} $x$ no domínio das funções com g ( x ) ≠ 0 {\displaystyle g(x)\neq 0} $g(x)\neq 0$ .

Regra da Cadeia

( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) {\displaystyle (f\circ g)'(x)=f'{\big (}g(x){\big )}g'(x)} $(f\circ g)'(x)=f'{\big (}g(x){\big )}g'(x)$

onde ( f ∘ g ) ( x ) := f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x):=f{\big (}g(x){\big )}} $(f\circ g)(x):=f{\big (}g(x){\big )}$ é a composição de f {\displaystyle f} $f$ com g {\displaystyle g} $g$ (usualmente, lê-se " f {\displaystyle f} $f$ após g {\displaystyle g} $g$ "). Esta é válida para x {\displaystyle x} $x$ no domínio D g {\displaystyle D_{g}} $D_{g}$ da função g {\displaystyle g} $g$ e tal que g ( x ) {\displaystyle g(x)} $g(x)$ esteja no domínio D f {\displaystyle D_{f}} $D_{f}$ da função f {\displaystyle f} $f$ , ou seja, é válida em D f ∘ g = { x ∈ D g : g ( x ) ∈ D f } {\displaystyle D_{f\circ g}=\{x\in D_{g}:g(x)\in D_{f}\}} $D_{f\circ g}=\{x\in D_{g}:g(x)\in D_{f}\}$ .

Derivadas de funções simples

d d x c = 0 {\displaystyle {d \over dx}c=0} ${d \over dx}c=0$

d d x x = 1 {\displaystyle {d \over dx}x=1} ${d \over dx}x=1$

d d x c . x = c {\displaystyle {d \over dx}c.x=c} ${d \over dx}c.x=c$

d d x x c = c x c − 1 {\displaystyle {d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}} ${d \over dx}x^{c}=cx^{c-1}$

Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas

d d x c x = c x ln ⁡ c , c > 0 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}c^{x}=c^{x}\ln c,\quad c>0} ${\frac {d}{dx}}c^{x}=c^{x}\ln c,\quad c>0$

d d x e x = e x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}} ${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$
d d x log b ⁡ | x | = 1 x ln ⁡ b {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}} ${\frac {d}{dx}}\log _{b}|x|={\frac {1}{x\ln b}}$
d d x ln ⁡ | x | = 1 x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |x|={\frac {1}{x}}} ${\frac {d}{dx}}\ln |x|={\frac {1}{x}}$

Se u {\displaystyle u}

u

é uma função derivável, então:

d d x e u = u ′ e u {\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{u}=u'e^{u}} ${\frac {d}{dx}}e^{u}=u'e^{u}$

d d x a u = u ′ a u ln ⁡ a {\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{u}=u'a^{u}\ln a} ${\frac {d}{dx}}a^{u}=u'a^{u}\ln a$

d d x log a ⁡ u = u ′ u log a ⁡ e {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{a}u={\frac {u'}{u}}\log _{a}e} ${\frac {d}{dx}}\log _{a}u={\frac {u'}{u}}\log _{a}e$

d d x ln ⁡ | u | = u ′ u {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln |u|={\frac {u'}{u}}} ${\frac {d}{dx}}\ln |u|={\frac {u'}{u}}$

Derivadas de funções trigonométricas

Função	Abreviatura	Identidade trigonométrica
Seno	sen (ou sin)	sen ⁡ θ ≡ cos ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 csc ⁡ θ {\displaystyle \operatorname {sen} \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}} $\operatorname {sen} \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}$
Cosseno	cos	cos ⁡ θ ≡ sen ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 sec ⁡ θ {\displaystyle \cos \theta \equiv \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}} $\cos \theta \equiv \operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}$
Tangente	tan (ou tg)	tan ⁡ θ ≡ sen ⁡ θ cos ⁡ θ ≡ cot ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 cot ⁡ θ {\displaystyle \tan \theta \equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}} $\tan \theta \equiv {\frac {\operatorname {sen} \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}$
Cossecante	csc (ou cosec)	csc ⁡ θ ≡ sec ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 sen ⁡ θ {\displaystyle \csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}} $\csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\operatorname {sen} \theta }}$
Secante	sec	sec ⁡ θ ≡ csc ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 cos ⁡ θ {\displaystyle \sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}} $\sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}$
Cotangente	cot (ou cotg ou cotan)	cot ⁡ θ ≡ cos ⁡ θ sen ⁡ θ ≡ tan ⁡ ( π 2 − θ ) ≡ 1 tan ⁡ θ {\displaystyle \cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}} $\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\operatorname {sen} \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}$

d d x sen ⁡ x = cos ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=\cos x} ${\frac {d}{dx}}\operatorname {sen} x=\cos x$

d d x cos ⁡ x = − sen ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x} ${\frac {d}{dx}}\cos x=-\operatorname {sen} x$

d d x tan ⁡ x = sec 2 ⁡ x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x} ${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$

d d x csc ⁡ x = − csc ⁡ x cot ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x} ${d \over dx}\csc x=-\csc x\cot x$

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\sec x=\sec x\tan x} ${d \over dx}\sec x=\sec x\tan x$

d d x cot ⁡ x = − csc 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x} ${d \over dx}\cot x=-\csc ^{2}x$

Derivadas de funções trigonométricas inversas

d d x arcsen ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ${d \over dx}\operatorname {arcsen} x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

d d x arccos ⁡ x = − 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} ${d \over dx}\arccos x=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

d d x arctan x = 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\arctan \,x={\frac {1}{1+x^{2}}}} ${d \over dx}\arctan \,x={\frac {1}{1+x^{2}}}$

d d x arcsec ⁡ x = 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} ${d \over dx}\operatorname {arcsec} x={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

d d x arccot ⁡ x = − 1 1 + x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}} ${d \over dx}\operatorname {arccot} x=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

d d x arccsc ⁡ x = − 1 | x | x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} ${d \over dx}\operatorname {arccsc} x=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}$

Derivadas de funções hiperbólicas

d d x senh ⁡ x = cosh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {senh} x=\cosh x} ${d \over dx}\operatorname {senh} x=\cosh x$

d d x cosh ⁡ x = senh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} x} ${d \over dx}\cosh x=\operatorname {senh} x$

d d x tanh ⁡ x = sech 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x} ${d \over dx}\tanh x=\operatorname {sech} ^{2}x$

d d x sech ⁡ x = − sech ⁡ x tanh ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} x\tanh x} ${d \over dx}\operatorname {sech} x=-\operatorname {sech} x\tanh x$

d d x coth ⁡ x = − csch 2 ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {coth} x=-\operatorname {csch} ^{2}x} ${d \over dx}\operatorname {coth} x=-\operatorname {csch} ^{2}x$

d d x csch ⁡ x = − csch ⁡ x coth ⁡ x {\displaystyle {d \over dx}\,\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} x\operatorname {coth} x} ${d \over dx}\,\operatorname {csch} x=-\operatorname {csch} x\operatorname {coth} x$

d d x argsenh ⁡ x = 1 x 2 + 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argsenh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}} ${d \over dx}\operatorname {argsenh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}$

d d x argcosh ⁡ x = 1 x 2 − 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}} ${d \over dx}\operatorname {argcosh} x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

d d x argtanh ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argtanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}} ${d \over dx}\operatorname {argtanh} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

d d x argsech ⁡ x = − 1 x 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}} ${d \over dx}\operatorname {argsech} x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

d d x argcoth ⁡ x = 1 1 − x 2 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}} ${d \over dx}\operatorname {argcoth} x={\frac {1}{1-x^{2}}}$

d d x argcsch ⁡ x = − 1 | x | x 2 + 1 {\displaystyle {d \over dx}\operatorname {argcsch} x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}+1}}}} ${d \over dx}\operatorname {argcsch} x=-{1 \over |x|{\sqrt {x^{2}+1}}}$

Ver também

Tabela de integrais

Referências

↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
↑ Leithold, Louis (1994). Cálculo com geometria analítica - vol. 1 3. ed. : Harbra. ISBN 8529400941
↑ Simmons, George (2009). Calculo com geometria analitica. : Pearson Makron Books. ISBN 0074504118
↑ Howard, Anton (2007). Cálculo - vol 1. 8 ed. : Bookman. ISBN 9788560031634
↑ Stewart, James (2006). Cálculo - Vol. 1 5 ed. : Thompson. ISBN 8522104794