Processo de Cauchy

Em teoria da probabilidade, um processo de Cauchy é um tipo de processo estocástico. Há formas simétricas e assimétricas do processo de Cauchy.^[1] O termo "processo de Cauchy" não especificado é frequentemente usado para fazer referência ao processo de Cauchy simétrico^[2]

O processo de Cauchy tem certas propriedades:

É um processo de Lévy;^[3]^[4]^[5]
É um processo estável;^[1]^[2]
É um processo de saltos puros;^[6]
Seus momentos são infinitos.

Processo de Cauchy simétrico

O processo de Cauchy simétrico pode ser descrito por um movimento browniano ou processo de Wiener sujeito ao subordinador de Lévy.^[7] O subordinador de Lévy é um processo associado a uma distribuição de Lévy, tendo parâmetro de localização $0$ e parâmetro de escala $t^{2}/2$ .^[7] A distribuição de Lévy é um caso especial de distribuição gama inversa. Então, usando $C$ para representar o processo de Cauchy e $L$ para representar o subordinador de Lévy, o processo de Cauchy simétrico pode ser descrito como:

C(t;0,1)\;:=\;W(L(t;0,t^{2}/2)).

A distribuição de Lévy é a probabilidade do primeiro tempo de chegada para um movimento browniano. Logo, o processo de Cauchy é na essência o resultado de dois processos de movimento browniano independentes.^[7]

A representação de Lévy-Khintchine para o processo de Cauchy simétrico é um triplo com deriva zero e difusão zero, o que resulta em um triplo de Lévy-Khintchine de $(0,0,W)$ , em que $W(dx)=dx/(\pi x^{2})$ .^[8]

A função característica marginal do processo de Cauchy simétrico tem a forma:^[1]^[8]

\operatorname {E} {\Big }=e^{-t|\theta |}.

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy simétrico é a distribuição de Cauchy cuja densidade é^[8]^[9]

f(x;t)={1 \over \pi }\left.

Processo de Cauchy assimétrico

O processo de Cauchy assimétrico é definido nos termos de um parâmetro $\beta$ . Aqui, $\beta$ é o parâmetro de obliquidade e seu valor absoluto deve ser menor ou igual a $1$ .^[1] No caso em que $|\beta |=1$ , o processo é considerado um processo de Cauchy completamente assimétrico. ^[1]

O triplo de Lévy-Khintchine tem a forma $(0,0,W)$ , em que $W(dx)={\begin{cases}Ax^{-2}\,dx&{\text{if }}x>0\\Bx^{-2}\,dx&{\text{if }}x<0\end{cases}}$ , em que $A\neq B$ , $A>0$ e $B>0$ .^[1]

Isto posto, $\beta$ é uma função de $A$ e $B$ .

A função característica da distribuição de Cauchy assimétrica tem a forma:^[1]

\operatorname {E} {\Big }=e^{-t(|\theta |+i\beta \theta \ln |\theta |/(2\pi ))}.

A distribuição de probabilidade marginal do processo de Cauchy é uma distribuição estável com índice de estabilidade igual a $1$ .

Referências

↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Kovalenko, I.N.; et al. (1996). Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers. : CRC Press. pp. 210–211. ISBN 9780849328701
↑ ^a ^b Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A. (2006). «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». In: Kabanov, Y.; Liptser, R.; Stoyanov, J. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift. : Springer. p. 228. ISBN 9783540307884
↑ Winkel, M. «Introduction to Levy processes» (PDF). pp. 15–16. Consultado em 7 de fevereiro de 2013
↑ Jacob, N. (2005). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3. : Imperial College Press. p. 135. ISBN 9781860945687
↑ Bertoin, J. (2001). «Some elements on Lévy processes». In: Shanbhag, D.N. Stochastic Processes: Theory and Methods. : Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 9780444500144
↑ Kroese, D.P.; Taimre, T.; Botev, Z.I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. : John Wiley & Sons. p. 214. ISBN 9781118014950
↑ ^a ^b ^c Applebaum, D. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (PDF). University of Sheffield. pp. 37–53
↑ ^a ^b ^c Cinlar, E. (2011). Probability and Stochastics. : Springer. p. 332. ISBN 9780387878591
↑ Itô, K. (2006). Essentials of Stochastic Processes. : American Mathematical Society. p. 54. ISBN 9780821838983

[models-1] ↑ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g Kovalenko, I.N.; et al. (1996). Models of Random Processes: A Handbook for Mathematicians and Engineers. : CRC Press. pp. 210–211. ISBN 9780849328701

[stable-2] Engelbert, H.J., Kurenok, V.P. & Zalinescu, A. (2006). «On Existence and Uniqueness of Reflected Solutions of Stochastic Equations Driven by Symmetric Stable Processes». In: Kabanov, Y.; Liptser, R.; Stoyanov, J. From Stochastic Calculus to Mathematical Finance: The Shiryaev Festschrift. : Springer. p. 228. ISBN 9783540307884

[Winkel-3] Winkel, M. «Introduction to Levy processes» (PDF). pp. 15–16. Consultado em 7 de fevereiro de 2013

[4] Jacob, N. (2005). Pseudo Differential Operators & Markov Processes: Markov Processes And Applications, Volume 3. : Imperial College Press. p. 135. ISBN 9781860945687

[5] Bertoin, J. (2001). «Some elements on Lévy processes». In: Shanbhag, D.N. Stochastic Processes: Theory and Methods. : Gulf Professional Publishing. p. 122. ISBN 9780444500144

[6] Kroese, D.P.; Taimre, T.; Botev, Z.I. (2011). Handbook of Monte Carlo Methods. : John Wiley & Sons. p. 214. ISBN 9781118014950

[applebaum-7] Applebaum, D. «Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes» (PDF). University of Sheffield. pp. 37–53

[cinlar-8] Cinlar, E. (2011). Probability and Stochastics. : Springer. p. 332. ISBN 9780387878591

[essentials-9] Itô, K. (2006). Essentials of Stochastic Processes. : American Mathematical Society. p. 54. ISBN 9780821838983

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v d e Processos estocásticos
Tempo discreto	Cadeias de Markov Passeio aleatório Autoevitante Processo de Bernoulli Processo de Galton–Watson Processo de Moran Variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas
Tempo contínuo	Processo de Bessel Movimento browniano Ponte Excursão Fracionário Geométrico Meander Processo de Cauchy Processo de Cox Processo de Feller Processo de Fleming–Viot Processo de Hunt Difusão de Itô Processo de Itô Processo Lévy Tempo local Processo aditivo de Markov Processo de McKean–Vlasov Processo Ornstein–Uhlenbeck Processo de Poisson Evolução de Schramm–Loewner Processo de Wiener Processo de nascimento e morte Processo de contato Passeio aleatório de tempo contínuo Processo empírico Difusão de salto
Ambos	Processo gaussiano Modelo Galves-Löcherbach Cadeias estocásticas com memória de alcance variável Modelo oculto de Markov Processo de Markov Martingale Ruído branco Processo regenerativo
Campos e outros	Processo de Dirichlet Medida de Gibbs Modelo de Hopfield Modelo de Ising Modelo de Potts Campo aleatório de Markov Processo de Pitman–Yor Grafo aleatório
Modelos de série temporal	Modelos ARCH ARIMA ARMA
Modelos financeiros	Black–Derman–Toy Black–Karasinski Chen Cox–Ingersoll–Ross (CIR) Garman–Kohlhagen Heath–Jarrow–Morton (HJM) Heston Ho–Lee Hull–White LIBOR market Rendleman–Bartter SABR volatility Vašíček Wilkie
Modelos atuariais	Bühlmann Cramér–Lundberg Sparre–Anderson
Modelos de filas	Fila M/M/1
Propriedades	Càdlàg Processo contínuo de Feller Gauss–Markov Markov Contínuo Reversível no tempo
Teoremas limites	Teorema central do limite Teorema de Donsker Teoria ergódica Teorema de Fisher–Tippett–Gnedenko Lei dos grandes números Lei do logaritmo iterado Teorema de Sanov
Desigualdades	Burkholder–Davis–Gundy Kunita–Watanabe Martingale de Doob
Ferramentas	Fórmula de Cameron–Martin Convergência de variáveis aleatórias Exponencial de Doléans-Dade Teorema da decomposição de Doob–Meyer Fórmula de Dynkin Fórmula de Feynman–Kac Teorema de Girsanov Integral de Itô Lema de Itō Teorema da continuidade de Kolmogorov Teorema da extensão de Kolmogorov Métrica de Lévy–Prokhorov Teorema de Prokhorov Integral de Skorokhod Teorema da representação de Skorokhod Espaço de Skorokhod Equação diferencial estocástica Tanaka Integral de Stratonovich Espaço de Wiener Clássico Abstrato Princípio da reflexão
Disciplinas	Ciências atuariais Econometria Teoria ergódica Matemática financeira Teoria das probabilidades Teoria das filas Estatística Cálculo estocástico Série temporal Aprendizado de máquina
Categoria:Processos estocásticos