Produto de inércia

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
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Em mecânica clássica, o produto de inércia mede a anti-simetria da distribuição de massa de um corpo em relação a um par de eixos e em relação ao seu baricentro. A unidade de medida do produto de inércia no Sistema Internacional de Unidades é kg ⋅ m 2 {\displaystyle {\text{kg}}\cdot {\text{m}}^{2}} .

Corpos rígidos com densidade variável

Em um corpo rígido os produtos de inércia são as componentes do tensor de inércia que localizam-se fora da diagonal principal. { I ~ } i j ≡ I i j     i ≠ j {\displaystyle \left\{{\tilde {\mathbf {I} }}\right\}_{ij}\equiv I_{ij}~~i\neq j}

Suponha um corpo rígido que possua massa M {\displaystyle M} , contenha N {\displaystyle N} partículas e seja descrito em um sistema com p {\displaystyle p} coordenadas, o tensor de inércia é dado por

I i j = ∑ α = 1 N m α ( δ i j ∑ n = 1 p x α , n 2 − x α , i x α , j )       ( 1 ) {\displaystyle I_{ij}=\sum _{\alpha =1}^{N}m_{\alpha }\left(\delta _{i}^{j}\sum _{n=1}^{p}x_{\alpha ,n}^{2}-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)~~~(1)}

então para i ≠ j {\displaystyle i\neq j}

as componentes do tensor tornam-se

I i j = ∑ α m α ( − x α , i x α , j ) = − ∑ α m α ( x α , i x α , j ) ≡ − ∑ m ∑ n . . . ∑ q ( ρ ( x m 1 , x n 2 , . . . , x q p ) x m 1 x n 2 . . . x q p ) x m , n , . . , q i x m , n , . . . , q j       ( 2 ) {\displaystyle I_{ij}=\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(-x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)=-\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)\equiv -\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)x_{m,n,..,q}^{i}x_{m,n,...,q}^{j}~~~(2)}

onde ρ ( x → ) = ρ {\displaystyle \rho \left({\vec {x}}\right)=\rho } é a densidade de massa.

M = ∑ α m α = − ∑ m ∑ n . . . ∑ q ( ρ ( x m 1 , x n 2 , . . . , x q p ) x m 1 x n 2 . . . x q p )       ( 3 ) {\displaystyle M=\sum _{\alpha }m_{\alpha }=-\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)~~~(3)}

Separando-se a função em partições ℘ {\displaystyle \wp } e fazendo a norma da partição ficar pequena o suficiente obtém-se

lim ‖ ℘ ‖ → 0 − ∑ m ∑ n . . . ∑ q ( ρ ( x m 1 , x n 2 , . . . , x q p ) x m 1 x n 2 . . . x q p ) x m , n , . . , q i x m , n , . . . , q j = − ∬ . . . ∫ ρ ( x → ) x i x j d q x           ( 4 ) {\displaystyle \lim _{\|\wp \|\to 0}-\sum _{m}\sum _{n}...\sum _{q}\left(\rho \left(x_{m}^{1},x_{n}^{2},...,x_{q}^{p}\right)x_{m}^{1}x_{n}^{2}...x_{q}^{p}\right)x_{m,n,..,q}^{i}x_{m,n,...,q}^{j}=-\iint ...\int \rho \left({\vec {x}}\right)x^{i}x^{j}d^{q}x~~~~~(4)}

(note que x i x j ≡ x i x j {\displaystyle x^{i}x^{j}\equiv x_{i}x_{j}} )

utilizando o lado esquerdo da Equação (2) com o mesmo argumento que usamos para chegar à integral q-upla em (4), obtemos o mesmo resultado.

lim ‖ ℘ ‖ → 0 − ∑ α m α ( x α , i x α , j ) = − ∫ x i x j d m ≡ − ∫ x i x j d m       ( 5 ) {\displaystyle \lim _{\|\wp \|\to 0}-\sum _{\alpha }m_{\alpha }\left(x_{\alpha ,i}x_{\alpha ,j}\right)=-\int x^{i}x^{j}dm\equiv -\int x_{i}x_{j}dm~~~(5)}

que é o produto de inércia no referido sistema de coordenadas. Para o sistema de coordenadas cartesiano, por exemplo, a integral acima se reduz à uma integral de volume (tripla)

I i j = ∫ C x i x j d m ≡ ∭ Q x i x j ρ ( x 1 , x 2 , x 3 ) d 3 x       ( 6 ) {\displaystyle I_{ij}=\int \limits _{C}x_{i}x_{j}\,dm\equiv \iiint \limits _{Q}x_{i}x_{j}\rho (x_{1},x_{2},x_{3})d^{3}x~~~(6)}

Eixos principais de inércia

Fixando-se arbitrariamente uma origem O em qualquer sistema material S, existe um referencial ortogonal Oxyz tal que:

I x y = I y z = I z x {\displaystyle I_{xy}=I_{yz}=I_{zx}\,\!}

Estes eixos são denominados eixos principais de inércia em relação a origem O {\displaystyle {\mathcal {O}}} .

Caso O {\displaystyle {\mathcal {O}}} seja coincidente com o centro de gravidade g → e f f {\displaystyle {\vec {g}}_{_{eff}}} , os eixos principais de inércia são também chamados de eixos centrais de inércia.

Ver também