Torque

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Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
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O torque ou binário de forças, também conhecido como momento de alavanca ou momento de forças, é uma grandeza vetorial da física associada às forças que produzam rotação em um corpo. Por vezes também é chamado simplesmente de "momento", termo ambíguo que pode se referir a outras grandezas, como momento angular, momento linear e momento de inércia.

Inicialmente, o torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força aplicada sobre um objeto, que é efetivamente utilizada para fazê-lo girar em torno de um eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância do ponto pivô ao ponto onde atua uma força ‘F’ é chamada braço do momento e é denotada por ‘r’. Note que esta distância ‘r’ é também um vetor.

Em um espaço tridimensional, o vetor torque é definido como o produto vetorial, respectivamente, da posição r {\displaystyle \mathbf {r} } em que é aplicada a força F {\displaystyle \mathbf {F} } :

τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \,\!}

História

Representação de uma balança com dois objetos de massas M1 e M2.

Assim como outros conceitos da mecânica clássica, o torque tem suas origens em problemas cotidianos, especialmente no uso das alavancas. As alavancas são máquinas simples que consistem essencialmente em uma barra com um ponto de apoio que facilita o movimento de objetos. O filósofo grego Arquimedes realizou estudos sobre tais máquinas e criou a teoria das alavancas. Ele percebeu que a força aplicada a uma das extremidades da alavanca, com o intuito de mover um objeto na outra extremidade, é inversamente proporcional à distância do ponto de apoio. Ou seja, quanto mais distante a extremidade estiver do ponto de apoio, menor será a força necessária para mover o objeto. Nesse contexto histórico, Arquimedes ficou famoso ao afirmar que caso lhe dessem "um ponto de apoio e uma alavanca" seria capaz de "mover o mundo”.

Introdução

Definição em módulo

Decomposição da força F em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição r, F⊥; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque.
Nesta imagem, o vetor torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.

Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F||, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F⊥, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo F ⊥ = F sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle F_{\perp }=F\operatorname {sen}(\theta )} . Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.

A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F⊥, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é r {\displaystyle r} . Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r⊥ e cujo módulo é r ⊥ = r sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle r_{\perp }=r\operatorname {sen}(\theta )} . Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque ( τ {\displaystyle \tau } ) como o produto das duas grandezas de cada situação:

Definição de torque (módulo)

τ = r F ⊥ = r ⊥ F = r F sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle \tau =rF_{\perp }=r_{\perp }F=rF\operatorname {sen}(\theta )}

Definição vetorial

Relação dos vetores torque ( τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} ), força ( F {\displaystyle \mathbf {F} } ), momento linear ( p {\displaystyle \mathbf {p} } ), momento angular ( L {\displaystyle \mathbf {L} } ) e posição ( r {\displaystyle \mathbf {r} } ).

Inicialmente, define-se o torque τ {\displaystyle \tau } de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição r {\displaystyle \mathbf {r} } (referido a uma origem O {\displaystyle O} ) e a força aplicada ao corpo nessa posição F {\displaystyle \mathbf {F} } :

Definição de torque (vetorial)

τ = r × F {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }

Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita. O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando r = ( x , y , z ) {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)} , F = ( F x , F y , F z ) {\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})} , e i {\displaystyle \mathbf {i} } , j {\displaystyle \mathbf {j} } e k {\displaystyle \mathbf {k} } como os vetores unitários, respectivamente, nas direções x {\displaystyle x} , y {\displaystyle y} e z {\displaystyle z} , obtém-se a seguinte expressão:

r × F = | i j k x y z F x F y F z | {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x&y&z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}

Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

τ = | y z F y F z | i − | x z F x F z | j + | x y F x F y | k {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\begin{vmatrix}y&z\\F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}x&z\\F_{x}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}\mathbf {k} } τ = ( y F z − z F y ) i − ( x F z − z F x ) j + ( x F y − y F x ) k = ( y F z − z F y , z F x − x F z , x F y − y F x ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=(yF_{z}-zF_{y})\mathbf {i} -(xF_{z}-zF_{x})\mathbf {j} +(xF_{y}-yF_{x})\mathbf {k} =(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})}

Unidades

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica que a ordem deve ser N·m e não m·N.

Segunda lei de Newton para rotações

Eixo fixo

Um torque pode fazer um corpo rígido girar, como acontece, por exemplo, quando abrimos ou fechamos uma porta. Para relacionar o torque resultante aplicado a um corpo rígido à aceleração angular a produzida por esse torque, faz-se a analogia com a segunda lei de Newton para translações ( F r e s = m a {\displaystyle F_{res}=ma} ). No caso, o torque resultante τ r e s {\displaystyle \tau _{res}} é análogo à força resultante F r e s {\displaystyle F_{res}} , a aceleração angular α {\displaystyle \alpha } à aceleração a {\displaystyle a} , e o momento de inércia I {\displaystyle I} à massa m {\displaystyle m} . Desse modo, tem-se a seguinte equação:

2ª lei de Newton para rotações (eixo fixo)

τ r e s = I α {\displaystyle \tau _{res}=I\alpha }

Forma geral

Caso o torque resultante não seja paralelo à aceleração angular, a relação entre as duas grandezas vetoriais não será dada através de um número, o momento de inércia, mas sim por um tensor, conhecido como o tensor de inércia.

2ª lei de Newton para rotações (forma geral)

τ r e s = I α ⇔ ( τ x τ y τ z ) = ( I x x I x y I x z I y x I y y I y z I z x I z y I z z ) ( α x α y α z ) {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{res}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}\Leftrightarrow {\begin{pmatrix}\tau _{x}\\\tau _{y}\\\tau _{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\alpha _{x}\\\alpha _{y}\\\alpha _{z}\end{pmatrix}}}

Nesta equação matricial, cada entrada de I {\displaystyle \mathbf {I} } é denominada produto de inércia, dados pelas seguintes expressões sobre uma distribuição de massa de um corpo C {\displaystyle C} :

I x x = ∫ C ( y 2 + z 2 ) d m {\displaystyle I_{xx}=\int _{C}\left(y^{2}+z^{2}\right)dm} I y y = ∫ C ( x 2 + z 2 ) d m {\displaystyle I_{yy}=\int _{C}\left(x^{2}+z^{2}\right)dm} I z z = ∫ C ( x 2 + y 2 ) d m {\displaystyle I_{zz}=\int _{C}\left(x^{2}+y^{2}\right)dm}


I x y = I y x = ∫ C ( − x y ) d m {\displaystyle I_{xy}=I_{yx}=\int _{C}\left(-xy\right)dm} I x z = I z x = ∫ C ( − x z ) d m {\displaystyle I_{xz}=I_{zx}=\int _{C}\left(-xz\right)dm} I y z = I z y = ∫ C ( − y z ) d m {\displaystyle I_{yz}=I_{zy}=\int _{C}\left(-yz\right)dm}

Relação com o momento angular

O torque resultante (referido a uma particular origem O {\displaystyle O} ) sofrido por uma partícula também pode ser expresso como sendo a derivada temporal do momento angular (referido à mesma origem). Considerando L {\displaystyle \mathbf {L} } como o vetor momento angular da partícula, escreve-se matematicamente:

2ª lei de Newton para rotações (momento angular)

τ r e s = d L d t {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{res}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}

Equilíbrio de rotação

Diz-se que um corpo rígido (como uma alavanca, por exemplo) está em equilíbrio quando a soma vetorial de todos os seus momentos de torque forem o vetor nulo.

Condição de equilíbrio de rotação

τ r e s = ∑ i = 1 n τ i = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{res}=\sum _{i=1}^{n}{\boldsymbol {\tau }}_{i}=\mathbf {0} }

Exemplos envolvendo torque

Bloco pendurado por disco

Tomemos um disco homogêneo, de massa M {\displaystyle M} e raio R {\displaystyle R} , montado em um eixo horizontal fixo; e um bloco de massa m {\displaystyle m} pendurado por uma corda (de massa desprezível) enrolada na borda do disco. Conhecidos os valores desses parâmetros e usando as leis de Newton para translação e para rotação é possível determinar a aceleração do bloco em queda, a aceleração angular do disco e a tensão da corda, contanto que seja considerado que a corda não escorrega e que não há atrito no eixo.

Por um lado, considerando o bloco como um sistema, pode-se relacionar a aceleração às forças que agem sobre o bloco através da segunda lei de Newton para translação ( F r e s = m a {\displaystyle F_{res}=ma} ). Por outro, ao considerar o disco como um sistema, relaciona-se a aceleração angular α {\displaystyle \alpha } ao torque que age sobre o disco através da segunda lei de Newton para rotação ( τ r e s = I α {\displaystyle \tau _{res}=I\alpha } ). Por fim, para combinar os movimentos do bloco e do disco, utiliza-se do fato de que a aceleração linear do bloco e a aceleração linear (tangencial) da borda do disco são iguais, sendo representadas por a {\displaystyle a} .

As forças atuantes estão representadas no diagrama de corpo livre do sistema. A força de tensão na corda é T {\displaystyle T} e o peso do bloco é P {\displaystyle P} , cujo módulo é P = m g {\displaystyle P=mg} . Podemos escrever a segunda lei de Newton para as componentes ao longo de um eixo vertical y ( F r e s , y = m a y {\displaystyle F_{res,y}=ma_{y}} ) como:

F r e s = m a ⟹ T − m g = m a {\displaystyle F_{res}=ma\implies T-mg=ma} ( 1 ) {\displaystyle (1)}

Entretanto, não é possível obter o valor de a {\displaystyle a} usando apenas esta equação porque ela também contém a incógnita T {\displaystyle T} . Comumente em problemas de mecânica, quando se esgotam as conclusões a serem tiradas acerca das forças em um eixo (no caso, o eixo y), observa-se as forças de outros eixos (como o eixo x) para obter mais equações e formar um sistema. Da mesma forma, pode ser útil usar as condições de rotação do disco para formar tal sistema.

Para calcular os torques e o momento de inércia, usamos o fato de que o eixo de rotação é perpendicular ao disco e passa pelo seu centro. Nesse caso, os torques são dados pela equação τ = r F ⊥ {\displaystyle \tau =rF_{\perp }} . A força peso do disco e a força do eixo agem sobre o centro do disco e, portanto, a uma distância r = 0 {\displaystyle r=0} , de modo que o torque produzido por essas forças seja nulo. A força T {\displaystyle T} exercida pela corda sobre o disco age a uma distância r = R {\displaystyle r=R} do eixo e é tangente à borda do disco. Assim, a força produz um torque τ = − R T {\displaystyle \tau =-RT} , negativo pois o torque tende a fazer o disco girar no sentido horário (lembrando que a regra da mão direita estabelece o sentido anti-horário de rotação como positivo). O momento de inércia do disco é I = M R 2 / 2 {\displaystyle I=MR^{2}/2} .

Assim, escreve-se a equação τ r e s = I α {\displaystyle \tau _{res}=I\alpha } da seguinte forma:

τ r e s = I α ⟹ − R T = M R 2 2 α ⟹ T = − 1 2 M α R {\displaystyle \tau _{res}=I\alpha \implies -RT={\frac {MR^{2}}{2}}\alpha \implies T=-{\frac {1}{2}}M\alpha R}

Como a aceleração linear do bloco e a aceleração tangencial do disco são iguais, é válida a equação a = α R {\displaystyle a=\alpha R} . Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se:

T = − 1 2 M a {\displaystyle T=-{\frac {1}{2}}Ma} ( 2 ) {\displaystyle (2)}

Substituindo a equação (2) na equação (1), encontra-se a aceleração obtida pelo corpo:

− 1 2 M a − m g = m a ⟹ ( m + 1 2 M ) a = − m g {\displaystyle -{\frac {1}{2}}Ma-mg=ma\implies \left(m+{\frac {1}{2}}M\right)a=-mg}

a = − m g m + 1 2 M = − g 1 + M 2 m {\displaystyle a=-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}=-{\frac {g}{1+{\frac {M}{2m}}}}}

Com esse resultado também é possível obter o valor da tração na corda, substituindo esta equação na equação (2):

T = − 1 2 M ( − m g m + 1 2 M ) {\displaystyle T=-{\frac {1}{2}}M\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)}

T = M m g 2 m + M = g 2 M + 1 m {\displaystyle T={\frac {Mmg}{2m+M}}={\frac {g}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}}

Por fim, pela definição de aceleração angular ( α = a / R {\displaystyle \alpha =a/R} ) e pela definição de torque ( τ = − R T {\displaystyle \tau =-RT} ), utilizadas no problema, tem-se os valores dessas duas grandezas:

α = 1 R ( − m g m + 1 2 M ) {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{R}}\left(-{\frac {mg}{m+{\frac {1}{2}}M}}\right)}

α = − m g R ( m + 1 2 M ) = − g R ( 1 + M 2 m ) {\displaystyle \alpha =-{\frac {mg}{R(m+{\frac {1}{2}}M)}}=-{\frac {g}{R(1+{\frac {M}{2m}})}}}

τ = − R ( M m g 2 m + M ) {\displaystyle \tau =-R\left({\frac {Mmg}{2m+M}}\right)}

τ = − ( M m g R 2 m + M ) = − g R 2 M + 1 m {\displaystyle \tau =-\left({\frac {MmgR}{2m+M}}\right)=-{\frac {gR}{{\frac {2}{M}}+{\frac {1}{m}}}}}

Cálculos de Forças

O deslocamento de uma força para um ponto fora da sua linha de ação introduz um torque τ {\displaystyle \tau }

Uma forma mais geral e simples de somar qualquer tipo de forças consiste em deslocá-las todas para um mesmo ponto, mas por cada força F → {\displaystyle {\vec {F}}} deslocada, deverá ser adicionado um torque, igual ao produto do módulo da força e o braço em relação ao ponto onde foi deslocada. A figura ao lado mostra uma força F → {\displaystyle {\vec {F}}} aplicada num ponto P, que queremos deslocar para a origem O.

O vetor posição r → {\displaystyle {\vec {r}}} do ponto P tem módulo r e faz um ângulo θ {\displaystyle \theta } com a força F → {\displaystyle {\vec {F}}} O braço da força em relação a O, que é a distância entre O e a linha de ação da força, é igual a r sin θ {\displaystyle \theta } e, portanto, o torque da força em relação a O é:

τ = F r s i n θ {\displaystyle \tau =F\;r\;sin\theta }

Repare que ( F s i n θ ) {\displaystyle (F\;sin\theta )} é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição r → {\displaystyle {\vec {r}}} e, assim, podemos dizer que o torque é produzido unicamente pela componente da força perpendicular ao deslocamento, e o valor do torque é igual ao valor absoluto da componente perpendicular da força, vezes a distância r que foi deslocada. O produto denomina-se produto vetorial entre os vetores r → {\displaystyle {\vec {r}}} e F → {\displaystyle {\vec {F}}} . No caso da soma das forças paralelas, o deslocamento das forças para o ponto S introduz dois torques, ( τ 1 = F 1 d 1 ) {\displaystyle (\tau _{1}=F_{1}d_{1})} e ( τ 2 = F 2 d 2 ) {\displaystyle (\tau _{2}=F_{2}d_{2})} os dois torques anulam-se e a resultante das duas forças, do ponto S, é a força F, sem nenhum torque. É importante também ter em conta o sentido de cada torque. A rotação produzida por F → {\displaystyle {\vec {F}}} quando for deslocada para a origem será sempre no plano definido por r → {\displaystyle {\vec {r}}} e F → {\displaystyle {\vec {F}}} . Se designarmos esse plano por xy, uma forma conveniente de representar os dois sentidos possíveis do torque é por meio dos versores e → z {\displaystyle {\vec {e}}_{z}} e − e → z {\displaystyle -{\vec {e}}_{z}} Assim, podemos definir o vetor torque τ → {\displaystyle {\vec {\tau }}} usando a expressão vetorial:

τ → = r → × F → {\displaystyle {\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}}

em que r → × F → {\displaystyle {\vec {r}}\times {\vec {F}}} é, por definição, um vetor com módulo dado pela equação τ = F r s i n θ {\displaystyle \tau =F\;r\;sin\theta } , direção perpendicular ao plano definido por r → {\displaystyle {\vec {r}}} e F → {\displaystyle {\vec {F}}} e sentido dado pela regra da mão direita: afastando os dedos polegar, indicador e médio da mão direita, se o indicador aponta no sentido de r → {\displaystyle {\vec {r}}} e o dedo médio no sentido de F → {\displaystyle {\vec {F}}} , o sentido de τ → {\displaystyle {\vec {\tau }}} é dado pelo dedo polegar. É de salientar que com essa definição, o produto vetorial não é comutativo; ( a → × b → ) {\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})} e ( b → × a → ) {\displaystyle ({\vec {b}}\times {\vec {a}})} são vetores com o mesmo módulo e direção, mas com sentidos opostos. Como o ângulo de um vetor consigo próprio é zero, o produto a → × a → {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}} é sempre nulo. Em particular:

e → x × e → x = e → y × e → y = 0 {\displaystyle {\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{y}\times {\vec {e}}_{y}=0}

O produto de dois versores perpendiculares é outro versor perpendicular a eles. Assim, temos que:

( e → x × e → y = e → z ) {\displaystyle ({\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}={\vec {e}}_{z})} e ( − e → y × e → x = e → z ) {\displaystyle (-{\vec {e}}_{y}\times {\vec {e}}_{x}={\vec {e}}_{z})} .

Consequentemente, escolhendo eixos em que os vetores r e F só tenham componentes x e y, obtemos o seguinte resultado útil para calcular produtos vetoriais:

τ → = | x y F x F y | e → z = ( x F y − y F x ) e → z {\displaystyle {\vec {\tau }}={\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}{\vec {e}}_{z}=(xF_{y}-yF_{x}){\vec {e}}_{z}}

Concluiremos para o fato de que, em contraste com as forças, os torques sim são vetores livres. O mesmo torque aplicado em qualquer ponto de um objeto produz o mesmo efeito. Uma força e um torque perpendicular a ela são sempre equivalentes à força, sem torque, atuando em outro ponto diferente. Isto é, deslocando a força na direção e distância apropriada, podemos introduzir um torque igual e oposto ao que queremos anular; como os dois torques são vetores livres, somam-se dando um torque nulo. O ponto de aplicação da resultante de várias forças é o ponto onde podemos somá-las produzindo um torque resultante nulo.

Momento e Binários

Binário Momento de uma força

A regra das alavancas pode ser explicada introduzindo o conceito de momento. Define-se o valor do momento de uma força em relação a um ponto O, como o produto do módulo da força pela distância desde o ponto O até a linha de ação da força (braço b {\displaystyle b} ),

M O = F b {\displaystyle M_{\mathrm {O} }=F\,b}

O momento M O {\displaystyle M_{\mathrm {O} }} representa o efeito de rotação produzido pela força, se o ponto O do corpo rígido estivesse fixo, podendo o corpo rodar à volta desse ponto.

Quanto mais afastada estiver a linha de ação da força em relação ao ponto fixo O, maior será o efeito rotativo produzido pela força. Isso explica porquê é mais fácil fechar a porta quanto mais longe das dobradiças for aplicada a força; a distância entre a linha de ação da força e a linha das dobradiças é o braço e quanto maior for, maior será o momento da força aplicada.

Sendo r → {\displaystyle {\vec {r}}} o vetor posição do ponto P em que a força F → {\displaystyle {\vec {F}}} é aplicada, em relação à origem O, o braço da força em relação à origem O é igual a r sin ⁡ θ {\displaystyle r\,\sin \theta } , em que o ângulo θ {\displaystyle \theta } é o ângulo entre os vetores r → {\displaystyle {\vec {r}}} e F → {\displaystyle {\vec {F}}} (figura ao lado).

Conclui-se que valor do momento da força em relação ao ponto O é igual a,

M O = F r sin ⁡ θ {\displaystyle M_{\mathrm {O} }=F\,r\,\sin \theta }

Repare-se que ( F sin ⁡ θ {\displaystyle F\,\sin \theta } ) é a componente da força na direção perpendicular ao vetor posição r → {\displaystyle {\vec {r}}} , ou seja, o valor do momento da força é também igual ao produto da distância desde o ponto de aplicação até a origem, r {\displaystyle r} , pela componente perpendicular da força. O momento produzido pela força é devido unicamente à componente perpendicular da força.

A equação acima mostra que o momento da força é igual ao módulo do produto vetorial entre o vetor posição e a força e mostra a conveniência de definir o momento em forma vetorial:

M → O = r → × F → {\displaystyle {\vec {M}}_{\mathrm {O} }={\vec {r}}\times {\vec {F}}}

O vetor M → O {\displaystyle {\vec {M}}_{\mathrm {O} }} representa um efeito de rotação num plano perpendicular a ele.

Na figura anterior o momento é um vetor que aponta para fora da figura e costuma ser representado por uma seta circular, no sentido da rotação que segue a regra da mão direita em relação ao sentido do vetor M → O {\displaystyle {\vec {M}}_{\mathrm {O} }} .

Um binário é um conjunto de duas forças F → {\displaystyle {\vec {F}}} e − F → {\displaystyle -{\vec {F}}} , iguais e opostas, com linhas de ação paralelas, como mostra a figura ao lado.

O binário não produz nenhuma translação em nenhum sentido, mas apenas rotação. O momento total, em relação à origem O, é a soma dos momentos das duas forças,

r → Q × F → − r → P × F → = ( r → Q − r → P ) × F → {\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {Q} }\times {\vec {F}}-{\vec {r}}_{\mathrm {P} }\times {\vec {F}}=({\vec {r}}_{\mathrm {Q} }-{\vec {r}}_{\mathrm {P} })\times {\vec {F}}}

Os dois vetores de posição dos pontos Q e P dependem da escolha da origem, mas a sua diferença é o vetor r → P Q {\displaystyle {\vec {r}}_{\mathrm {PQ} }} na figura, que não depende do ponto onde estiver a origem.

Isso quer dizer que o binário produz um momento que não depende de nenhum ponto de referência,

M → = r → P Q × F → {\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {PQ} }\times {\vec {F}}}

Na figura abaixo o momento do binário é um vetor para fora da figura, representado pela seta circular no sentido anti-horário.

Procedimento para deslocar uma força de um ponto P para outro ponto Q

Uma força F → {\displaystyle {\vec {F}}} aplicada num ponto P pode ser deslocada para outro ponto Q, fora da sua linha de ação, usando o procedimento ilustrado na figura acima.

Adicionam-se duas forças − F → {\displaystyle -{\vec {F}}} e F → {\displaystyle {\vec {F}}} nos pontos P e Q e, para não alterar nada, adiciona-se também um binário M → {\displaystyle {\vec {M}}} com o mesmo módulo do binário das forças introduzidas, mas no sentido oposto.

No caso da figura anterior, M {\displaystyle M} deve ser no sentido horário e com módulo igual ao produto de F {\displaystyle F} pela distância desde Q até a linha de ação da força original; ou, em forma vetorial, M → = r → Q P × F → {\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {QP} }\times {\vec {F}}} .

No ponto P há duas forças iguais e opostas que se anulam, ficando no fim a força F → {\displaystyle {\vec {F}}} no ponto Q e o binário M → = r → Q P × F → {\displaystyle {\vec {M}}={\vec {r}}_{\mathrm {QP} }\times {\vec {F}}} que é igual ao momento M → Q {\displaystyle {\vec {M}}_{Q}} que a força original, em P, produz em relação ao ponto Q.

Conclui-se que para somar um conjunto de forças num ponto Q, somam-se os momentos das forças em relação a esse ponto, dando um binário resultante, e somam-se as forças como vetores livres. O resultado é a força resultante no ponto Q e o binário resultante.

Quando as direções de todas as forças estiverem num mesmo plano, será conveniente definir dois dos eixos coordenados nesse plano, por exemplo x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} e a origem no ponto onde vão ser somadas as forças. Assim sendo, o momento de cada força F → {\displaystyle {\vec {F}}} em relação à origem introduz um binário que tem unicamente componente segundo z {\displaystyle z} , dada pelo determinante,

M z = | x y F x F y | {\displaystyle M_{z}=\left|{\begin{array}{cc}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{array}}\right|}

em que x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} são as coordenadas do ponto onde está a ser aplicada a força F → {\displaystyle {\vec {F}}} .

Para obter o binário resultante bastará somar os valores de M z {\displaystyle M_{z}} obtidos para cada força.

Ver também

Referências

  1. ↑ a b c Halliday 2012, p. 292
  2. ↑ a b c d Halliday 2012, p. 267
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Bibliografia

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