Na matemática, uma categoria é um conceito similar a um grafo direcionado, incluindo setas entre objetos, entre elas havendo identidades e uma operação de composição, com propriedades análogas à composição de funções.
A teoria das categorias é o estudo de propriedades e classificações de categorias e conceitos relacionados. Ela provê uma linguagem que simplifica conceitos e demonstrações em várias áreas de matemática, possibilitando delinear e separar os resultados gerais dos que se aplicam a uma área específica.
Categorias foram introduzidas por Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane com o objetivo de dar um significado rigoroso ao conceito de "canônico" ou "natural".
Uma categoria C consiste nos seguintes elementos:
Categorias definidas têm, comumente, nome escrito em negrito, como Cat, ou sem serifas, como C a t {\displaystyle {\mathsf {Cat}}}
. Nota-se que, como definido acima, hom(a, b) ∩ hom(c, d) = ∅ a menos que a = c e b = d.Na teoria de conjuntos (mais precisamente axiomas de Zermelo-Fraenkel), não há conjunto incluindo todos os conjuntos. Similarmente, não há categoria incluindo todos os conjuntos (ou grupos, espaços topológicos etc.) Isso pode ser resolvido, usando universos de Grothendieck. Dado U {\displaystyle U} universo, chame um conjunto de ( U {\displaystyle U} -)pequeno se ele for membro de U {\displaystyle U} . Então, U - S e t {\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Set}}} será a categoria dos conjuntos pequenos. Dado o axioma de universos, temos uma sequência:
U 0 - S e t ⊊ U 1 - S e t ⊊ U 2 - S e t ⊊ ⋯ {\displaystyle U_{0}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq U_{1}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq U_{2}{\text{-}}{\mathsf {Set}}\subsetneq \cdots } em que U 0 ∈ U 1 ∈ U 2 ∈ ⋯ {\displaystyle U_{0}\in U_{1}\in U_{2}\in \cdots } são universos.Uma categoria é ( U {\displaystyle U}
-)pequena quando o conjunto de objetos e todos os conjuntos de setas hom(a, b) são ( U {\displaystyle U} -)pequenos. Notar que U - S e t {\displaystyle U{\text{-}}{\mathsf {Set}}} é assim uma categoria U {\displaystyle U} -grande.Na prática, o prefixo " U {\displaystyle U}
-" é omitido.Esta, porém, não é a única forma de resolver esse problemas lógicos. Adámek, Herrlich e Strecker, por exemplo, supõem somente a existência de conjuntos, classes e conglomerados (que correspondem, respectivamente, a elementos de um universo, subcoleções do universo e coleções de subcoleções do universo); nesse contexto, os hom são sempre conjuntos (não podem ser classes quaisquer), e uma categoria pequena é definida como uma categoria cuja coleção de objetos é um conjunto.
Para cada categoria C {\displaystyle C}
g o p ∘ f o p = ( f ∘ g ) o p {\displaystyle g^{\mathrm {op} }\circ f^{\mathrm {op} }=(f\circ g)^{\mathrm {op} }} , temos a categoria oposta (ou dual) C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op} }} , obtida invertendo a direção das setas de C {\displaystyle C} . Mais precisamente, C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op} }} tem os mesmos objetos que C {\displaystyle C} , e cada morfismo b → a {\displaystyle b\to a} em C o p {\displaystyle C^{\mathrm {op} }} é denotado por f o p : b → a {\displaystyle f^{\mathrm {op} }:b\to a} para exatamente um morfismo f : a → b {\displaystyle f:a\to b} ; identidades são ( 1 a ) o p {\displaystyle (1_{a})^{\mathrm {op} }} , e composição é definida por para setas de domínio e contradomínio adequados.A cada teorema do formato "para toda categoria C {\displaystyle C} monomorfismo" com "epimorfismo" etc.). Isso pode deixar mais fácil de encontrar demonstrações de outros resultados.
, ϕ ( C ) {\displaystyle \phi (C)} é verdade", há o costume de expressar o caso particular " ϕ ( C o p ) {\displaystyle \phi (C^{\mathrm {op} })} " sem envolver a definição de categoria oposta (por exemplo, trocando "domínio" com "contradomínio", "A categoria C a t {\displaystyle {\mathsf {Cat}}} functores como morfismos) tem produtos binários. Eis uma construção explícita. Dadas categorias B , C {\displaystyle B,C} , os objetos de B × C {\displaystyle B\times C} são as duplas ( b , c ) {\displaystyle (b,c)} , com b {\displaystyle b} objeto de B {\displaystyle B} e c {\displaystyle c} objeto de C {\displaystyle C} , e os morfismos ( b , c ) → ( b ′ , c ′ ) {\displaystyle (b,c)\to (b',c')} são as duplas de morfismos f : b → b ′ {\displaystyle f:b\to b'} e g : c → c ′ {\displaystyle g:c\to c'} . A identidade de ( b , c ) {\displaystyle (b,c)} é ( 1 b , 1 c ) {\displaystyle (1_{b},1_{c})} , e composições são dadas por:
( f ′ , g ′ ) ∘ ( f , g ) = ( f ′ ∘ f , g ′ ∘ g ) {\displaystyle (f',g')\circ (f,g)=(f'\circ f,g'\circ g)} das categorias pequenas (eUm morfismo f : a → b numa categoria C é chamado:
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