Em matemática, a Teoria de conjuntos de Zermelo, abreviada Z, é a apresentação axiomática da Teoria de conjuntos publicada pela primeira vez por Ernst Zermelo em 1908 no seu artigo Pesquisas sobre os fundamentos da teoria de conjuntos. I e que formou a base da Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, ZF, a teoria axiomática de conjuntos mais utilizada hoje, que resulta de acrescentar à Teoria de Zermelo os axiomas de substituição e fundação.
Dois conjuntos são iguais (são o mesmo conjunto) se eles têm os mesmos elementos. Na linguagem da lógica atual:
∀ x ∀ y . {\displaystyle \forall x\forall y.}Existe um conjunto, o conjunto vazio ∅, que não contém nenhum elemento:
∃ x ∀ y ( y ∉ x ) {\displaystyle \exists x\forall y\;(y\not \in x)}Para cada conjunto x {\displaystyle x} existe o conjunto unitário { x } {\displaystyle \{x\}} . Para cada conjunto x {\displaystyle x} e para cada conjunto y {\displaystyle y} existe o par (não ordenado) { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} .
∀ x ∃ z ( z = { x } ) {\displaystyle \forall x\exists z(z=\{x\})} ∀ x ∀ y ∃ z ( z = { x , y } ) {\displaystyle \forall x\forall y\exists z(z=\{x,y\})}Na sua publicação de 1908, Zermelo enuncia o Axioma II com o nome "Axioma dos conjuntos elementares". Esse axioma tem três partes, que correspondem ao conjunto vazio, conjunto unitário e conjunto de pares. Se interpretamos "dois objetos" do enunciado original de Zermelo do axioma de pares, como dois objetos diferentes, ficaria:
∀ x ∀ y ( x ≠ y ⇒ ∃ z ( z = { x , y } ) ) {\displaystyle \forall x\forall y\left(x\neq y\Rightarrow \exists z\left(z=\{x,y\}\right)\right)}Apesar desse último não ser logicamente equivalente (em primeira ordem) à forma usual anterior, os outros axiomas permitem afirmar a existência de { x } {\displaystyle \{x\}} e de { y } {\displaystyle \{y\}} usando { x , y } {\displaystyle \{x,y\}} .
Se a propriedade P ( z ) {\displaystyle P(z)} está definida para todos os elementos de um conjunto x {\displaystyle x} , então existe um subconjunto y {\displaystyle y} de x {\displaystyle x} que contém os elementos de x {\displaystyle x} que satisfazem a propriedade P {\displaystyle P} . Em termos atuais, dada uma fórmula ϕ ( s 0 , … , s n , z ) {\displaystyle \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z)} de primeira ordem da linguagem de ZF com a variável livre z {\displaystyle z} e os parâmetros s 0 , … , s n {\displaystyle s_{0},\dots ,s_{n}} :
∀ x ∃ y ∀ z ( z ∈ y ⇔ z ∈ x ∧ ϕ ( s 0 , … , s n , z ) ) {\displaystyle \forall x\exists y\forall z\;(z\in y\Leftrightarrow z\in x\wedge \phi (s_{0},\dots ,s_{n},z))}Para todo conjunto x {\displaystyle x} existe um conjunto y {\displaystyle y} que tem como elementos todos os subconjuntos de x {\displaystyle x} .
∀ x ∃ y ∀ z ( z ⊆ x → z ∈ y ) {\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\rightarrow z\in y)}Um tal y {\displaystyle y} é denominado "conjunto potência de x {\displaystyle x} " ou "conjunto das partes de x {\displaystyle x} ", usualmente denotado:
y = P ( x ) {\displaystyle y={\mathcal {P}}(x)}Para todo conjunto x {\displaystyle x} existe um conjunto y {\displaystyle y} tal que todo elemento z {\displaystyle z} que pertence a um elemento de x {\displaystyle x} é um elemento de y {\displaystyle y} .
∀ x ∃ y ∀ z ∀ h ( h ∈ x ∧ z ∈ h ⇒ z ∈ y ) {\displaystyle \forall x\,\exists y\,\forall z\,\forall h(h\in x\land z\in h\Rightarrow z\in y)}Esse y {\displaystyle y} cuja existência é afirmada pelo axioma é denominado "união de x {\displaystyle x} ":
y = ⋃ ( x ) {\displaystyle y=\bigcup (x)}Ou "união dos elementos de x {\displaystyle x} ":
y = ⋃ h ∈ x ( h ) {\displaystyle y=\bigcup _{h\in x}(h)}Existe um conjunto y {\displaystyle y} que contém o conjunto vazio ∅ {\displaystyle \varnothing } , e para cada x ∈ y {\displaystyle x\in y} , o conjunto { x } {\displaystyle \{x\}} também pertence a y {\displaystyle y} . Note que Zermelo usa { x } {\displaystyle \{x\}} como o sucessor de x {\displaystyle x} na sequência numérica (Zahlenreihe):
0 , { 0 } , { { 0 } } , { { { 0 } } } , … {\displaystyle 0,\{0\},\{\{0\}\},\{\{\{0\}\}\},\dots }A definição habitual, que provém de von Neumann, estabelece sucessor de maneira diferente como x ∪ { x } {\displaystyle x\cup \{x\}} .
O axioma do infinito tal como ele é enunciado por Zermelo, poderia ser interpretado modernamente como:
∃ y ( ( ∅ ∈ y ) ∧ ∀ x ( x ∈ y ⇒ { x } ∈ y ) ) {\displaystyle \exists y\left((\varnothing \in y)\wedge \forall x(x\in y\Rightarrow \{x\}\in y)\right)}Se x {\displaystyle x} é um conjunto de conjuntos não vazios e disjuntos dois a dois, então existe um conjunto de escolha e {\displaystyle e} contido na união de x {\displaystyle x} , tal que para cada elemento y {\displaystyle y} de x {\displaystyle x} , e {\displaystyle e} tem um único elemento em comum com y {\displaystyle y} . A ideia intuitiva é que o conjunto e {\displaystyle e} "escolhe" um elemento de cada y {\displaystyle y} em x {\displaystyle x} :
∀ x ( ∀ y 0 , y 1 ∈ x ( y 0 ∩ y 1 = ∅ ) ⇒ ∃ e ∀ y ∈ x ∃ z ( e ∩ y = { z } ) ) {\displaystyle \forall x\left(\forall y_{0},y_{1}\in x(y_{0}\cap y_{1}=\varnothing )\Rightarrow \exists e\forall y\in x\;\exists z\left(e\cap y=\{z\}\right)\right)}O Axioma do conjunto vazio pode ser demonstrado a partir dos outros axiomas, basta usar o Axioma de separação com a fórmula z {\displaystyle z} ≠ z {\displaystyle z} que não é satisfeita por nenhum elemento.
Se o Axioma dos pares não pedir explicitamente que a {\displaystyle a} ≠ b {\displaystyle b} para a existência do par { a , b } {\displaystyle \{a,b\}} , então a existência do conjunto unitário segue-se da existência de { a , a } = { a } {\displaystyle \{a,a\}=\{a\}} . A independência do Axioma de pares (se os outros axiomas são consistentes) foi demonstrada por Boffa, resultado interessante, pois esse axioma não é independente em Zermelo-Frankel.
Fraenkel introduziu o método dos modelos de permutação para demonstrar a independência relativa do Axioma da Escolha.
A independência do Axioma de infinito é demonstrada de maneira similar a ZF, V ω {\displaystyle V_{\omega }} é um modelo da teoria de Zermelo sem o Axioma de infinito.
Os axiomas de união e partes são independentes, igual que em ZF. Diferentemente de ZF o axioma da união e consistente relativo aos demais axiomas, se eles foram consistentes. Assim, o axioma da união é uma extensão forte em ZF, mas uma extensão fraca na teoria de Zermelo. O Axioma de pares também é consistente relativo.
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