Teorema de Taylor

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Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
CálculoDefinições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveisFormalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico
v d e

Em cálculo, o Teorema de Taylor, recebe seu nome do matemático britânico Brook Taylor, quem o enunciou em 1712. Este teorema permite aproximar uma função derivável na vizinhança reduzida em torno de um ponto a: E (a, d) mediante um polinômio cujos coeficientes dependem das derivadas da função nesse ponto. Em termos matemáticos: Se n {\displaystyle \ n} $\ n$ ≥ 0 é um inteiro e f {\displaystyle \ f} $\ f$ uma função que é derivável n {\displaystyle \ n} $\ n$ vezes no intervalo fechado e n+1 no intervalo aberto ] a {\displaystyle \ a} $\ a$ , x {\displaystyle \ x} $\ x$ [, então, deduz-se que:

f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x − a ) + f ( 2 ) ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + R {\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R} $f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R$

f ( x ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k + R {\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R} $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R$

Onde, n ! {\displaystyle \ n!} $\ n!$ denota o fatorial de n {\displaystyle \ n} $\ n$ , e R {\displaystyle \ R} $\ R$ é o resto, termo que depende de x {\displaystyle \ x} $\ x$ e é pequeno se x {\displaystyle \ x} $\ x$ está próximo ao ponto a {\displaystyle \ a} $\ a$ . Existem duas expressões para R {\displaystyle \ R} $\ R$ que referem-se à continuação:

R = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − a ) n + 1 {\displaystyle R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}

R={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}

onde a {\displaystyle \ a} $\ a$ e x {\displaystyle \ x} $\ x$ , pertencem aos números reais, n {\displaystyle \ n} $\ n$ aos inteiros e ξ {\displaystyle \ \xi } $\ \xi$ é um número real entre a {\displaystyle \ a} $\ a$ e x {\displaystyle \ x} $\ x$ .

R = ∫ a x f ( n + 1 ) ( t ) n ! ( x − t ) n d t {\displaystyle R=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt}

R=\int _{a}^{x}{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,dt

Se R {\displaystyle \ R} $\ R$ é expresso da primeira forma, é denominado Termo complementar de Lagrange, dado que o Teorema de Taylor enuncia-se como uma generalização do Teorema do valor médio ou Teorema de Lagrange, enquanto que a segunda expressão de R mostra ao teorema como uma generalização do Teorema fundamental do cálculo integral.

Para algumas funções f ( x ) {\displaystyle \ f(x)} $\ f(x)$ , pode-se provar que o resto, R {\displaystyle \ R} $\ R$ , aproxima-se de zero quando n {\displaystyle \ n} $\ n$ aproxima-se do ∞; tais funções podem ser expressas como séries de Taylor em uma vizinhança reduzida ao redor de um ponto a {\displaystyle \ a} $\ a$ e são denominadas funções analíticas.

O teorema de Taylor com R {\displaystyle \ R} $\ R$ expresso da segunda forma é também válido se a função f {\displaystyle \ f} $\ f$ tem números complexos ou valores vetoriais. Além disso, existe uma variação do teorema de Taylor para funções com múltiplas variáveis.

Teorema de Taylor para várias variáveis

O Teorema de Taylor pode ser generalizado para o caso de várias variáveis da seguinte forma: seja B uma bola em RN de centro a, e f uma função de valores reais definida no fecho B ¯ {\displaystyle {\bar {B}}} ${\bar {B}}$ , possuindo n+1 derivadas parciais contínuas em todos os pontos. O teorema de Taylor afirma que para qualquer x ∈ B {\displaystyle x\in B} $x\in B$ , temos

f ( x ) = ∑ | α | = 0 n 1 α ! ∂ α f ( a ) ∂ x α ( x − a ) α + ∑ | α | = n + 1 R α ( x ) ( x − a ) α {\displaystyle f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }}

f(x)=\sum _{|\alpha |=0}^{n}{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(a)}{\partial x^{\alpha }}}(x-a)^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=n+1}R_{\alpha }(x)(x-a)^{\alpha }

onde o somatório é feito sobre os multi-índices α (onde se utiliza a notação multi-índice nessa fórmula).

O termo restante satisfaz a desigualdade

| R α ( x ) | ≤ sup y ∈ B ¯ | 1 α ! ∂ α f ( y ) ∂ x α | {\displaystyle |R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|}

|R_{\alpha }(x)|\leq \sup _{y\in {\bar {B}}}\left|{\frac {1}{\alpha !}}{\frac {\partial ^{\alpha }f(y)}{\partial x^{\alpha }}}\right|

para todo α onde |α| = n + 1. Tal qual no caso de uma variável, os termos de resto podem ser expressos explicitamente.

Ver também

Série de Taylor

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