Função iterada

Em matemática, função iterada é uma função que é composta consigo mesma, em forma repetida, em um processo chamado iteração. As funções iteradas são objeto de profundos estudos no campo dos fractais e sistemas dinâmicos.

Definição

A definição formal de uma função iterada em um conjunto X {\displaystyle X} é:

Seja X {\displaystyle X} um conjunto e f : X → X {\displaystyle f:X\rightarrow X} uma função. Define-se o iterado n {\displaystyle n} -ésimo f n {\displaystyle f^{n}} de f {\displaystyle f} mediante f 0 = id X {\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}} onde id X {\displaystyle \operatorname {id} _{X}} é a função identidade em X {\displaystyle X} , e f n + 1 = f ∘ f n {\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}} .

Na expressão prévia, f ∘ g {\displaystyle f\circ g} indica uma composição de funções; que tem o valor, ( f ∘ g ) ( x ) = f ( g ( x ) ) {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} .

Criação de sequências de iteração

A sequência de funções f n {\displaystyle f^{n}} é chamada uma sequência de Picard, em homenagem a Charles Émile Picard. Dado um x {\displaystyle x} em X {\displaystyle X} , a sequência de valores f n ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)} é denominada a órbita de x {\displaystyle x} .

Se f n ( x ) = f n + m ( x ) {\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)} para algum número inteiro m {\displaystyle m} , então a órbita denomina-se órbita periódica. O menor número de m {\displaystyle m} para um dado x {\displaystyle x} é chamado o período da órbita. O ponto x {\displaystyle x} é chamado um ponto periódico.

Referências