Axioma da potência
Em matemática, o axioma da potência é um dos axiomas de Zermelo-Fraenkel da Teoria Axiomática dos Conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC)
Na linguagem formal dos axiomas de Zermelo-Fraenkel, lê-se:
∀ A ∃ P ∀ B {\displaystyle \forall A\,\exists P\,\forall B\,}
onde P é o conjunto das partes, ou conjunto potência de A, P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} . Em português, ele diz:
Para todo conjunto A, existe um conjunto P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} tal que, dado qualquer conjunto B, B pertence a P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} se e somente se B é um subconjunto de A. (Subconjunto não foi usado na definição formal acima porque o axioma da potência é um axioma que pode requerir ser expressado sem referência ao conceito de subconjunto.)
. Em português, ele diz:
Pelo axioma da extensão este conjunto é único. Nós chamamos o conjunto P ( A ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} de conjunto das partes e A. portanto, a essência desse significado é que todo conjunto possui um conjunto das partes.
O Axioma da Potência aparece na maioria das axiomatizações da teoria dos conjuntos. Ele é geralmente considerado não controverso, porém a Teoria Construtivista dos Conjuntos prefere uma versão mais fraca, para evitar preocupações com predicabilidade.
Consequências
O Axioma da Potência permite uma definição simples de Produto Cartesiano de dois conjuntos X {\displaystyle X} e Y {\displaystyle Y} :
X × Y = { ( x , y ) : x ∈ X ∧ y ∈ Y } . {\displaystyle X\times Y=\{(x,y):x\in X\land y\in Y\}.}
e
Y
{\displaystyle Y}
:
Perceba que:
x , y ∈ X ∪ Y {\displaystyle x,y\in X\cup Y} { x } , { x , y } ∈ P ( X ∪ Y ) {\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)} ( x , y ) = { { x } , { x , y } } ∈ P ( P ( X ∪ Y ) ) {\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
{
x
}
,
{
x
,
y
}
∈
P
(
X
∪
Y
)
{\displaystyle \{x\},\{x,y\}\in {\mathcal {P}}(X\cup Y)}
(
x
,
y
)
=
{
{
x
}
,
{
x
,
y
}
}
∈
P
(
P
(
X
∪
Y
)
)
{\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y))}
e portanto, o produto cartesiano é um conjunto, já que
X × Y ⊆ P ( P ( X ∪ Y ) ) . {\displaystyle X\times Y\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X\cup Y)).}
Pode-se definir o produto cartesiano de qualquer coleção finita de conjuntos recursivamente:
X 1 × ⋯ × X n = ( X 1 × ⋯ × X n − 1 ) × X n . {\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=(X_{1}\times \cdots \times X_{n-1})\times X_{n}.}
Note que a existência do produto cartesiano pode ser provada sem o uso do Axioma da Potência, como no caso da Teoria dos Conjuntos Kripke-Platek.
Referencias
- Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
- Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
- Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.
