Teorema de Cantor

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Na teoria dos espaços métricos completos, o teorema de Cantor, em referência ao matemático alemão Georg Cantor possui fundamental importância.

Sua particularização na reta real recebe o nome de teorema dos intervalos encaixantes.

Enunciado

Seja { F n } n = 1 ∞ {\displaystyle \left\{F_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }} uma seqüência de conjuntos fechados limitados não-vazios encaixados, ou seja, F n + 1 ⊆ F n {\displaystyle F_{n+1}\subseteq F_{n}} . Assuma, ainda, que diam ( F n ) → 0 {\displaystyle {\mbox{diam}}(F_{n})\to 0} , ou seja, que o diâmetro dos conjuntos esteja convergindo para zero. O diâmetro é definido como:

diam(F) = sup x , y ∈ F d ( x , y ) {\displaystyle {\mbox{diam(F)}}=\sup _{x,y\in F}d(x,y)}

Então a intersecção ⋂ n = 1 ∞ F n {\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}} é não vazia. Mais ainda, esta intersecção é formada por apenas um ponto.

Demonstração

Como cada F n {\displaystyle F_{n}} é não-vazio, podemos escolher um ponto x n {\displaystyle x_{n}} pertencente a ele:

x n ∈ F n {\displaystyle x_{n}\in F_{n}}

Como x n + k ∈ F n + k ⊆ F n {\displaystyle x_{n+k}\in F_{n+k}\subseteq F_{n}} , temos que toda a seqüência { x j } j = n ∞ {\displaystyle \{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }} está contida em F n {\displaystyle F_{n}\,} .

Mas { x j } j = n ∞ {\displaystyle \{x_{j}\}_{j=n}^{\infty }} é uma Sucessão de Cauchy, pois:

d ( x n , x n + k ) ≤ diam ( F n ) → 0 {\displaystyle {\mbox{d}}(x_{n},x_{n+k})\leq {\mbox{diam}}(F_{n})\to 0} , pois x n , x n + k ∈ F n {\displaystyle x_{n},x_{n+k}\in F_{n}} .

Dado que toda Sucessão de Cauchy é convergente num espaço métrico completo, existe um ponto limite x {\displaystyle x} tal que:

x n → x {\displaystyle x_{n}\to x}

Como os conjuntos F n {\displaystyle F_{n}} são fechados e o limite de uma seqüência é invariante por cortes finitos, temos:

x ∈ F n , ∀ n {\displaystyle x\in F_{n},\forall n}

Assim x ∈ ⋂ n = 1 ∞ F n {\displaystyle x\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}} .

Para provar que x {\displaystyle x\,} é, de fato, o único elemento pertencente à intersecção, considere, por absurdo que existam mais de um ponto nela, ou seja:

x , y ∈ ⋂ n = 1 ∞ F n {\displaystyle x,y\in \bigcap _{n=1}^{\infty }F_{n}} , com x ≠ y {\displaystyle x\neq y\,}

O fato que x ≠ y {\displaystyle x\neq y\,} implica d ( x , y ) > 0 {\displaystyle d(x,y)>0\,}

Escolha N {\displaystyle N\,} tal que:

diam ( F n ) < d ( x , y ) {\displaystyle {\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)\,}

Da definição de diâmetro e do fato que x , y ∈ F n {\displaystyle x,y\in F_{n}} , deve valer:

d ( x , y ) ≤ diam ( F n ) < d ( x , y ) {\displaystyle d(x,y)\leq {\mbox{diam}}(F_{n})<d(x,y)} , um absurdo.

Aplicações

• É utilizado na demonstração do teorema da categoria de Baire.

Referências

1. ↑ «Set theory: with an introduction to real point sets». Choice Reviews Online (06): 52–3145-52-3145. 21 de janeiro de 2015. ISSN 0009-4978. doi:10.5860/choice.186185. Consultado em 5 de novembro de 2022 
2. ↑ de Araújo, Carlos César (24 de julho de 2003). «O Teorema de Cantor». Gregos e Troianos. Consultado em 5 de novembro de 2022 

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