Em matemática, mais especificamente em teoria dos conjuntos, o Princípio da Escolha Dependente ou Axioma da Escolha Dependente (abreviado DC, do inglês Dependent Choice) afirma que, dados um conjunto não-vazio A {\displaystyle A} e uma relação binária R ⊆ A × A {\displaystyle R\subseteq A\times A} sobre A {\displaystyle A} que satisfaz a condição de que para todo x ∈ A {\displaystyle x\in A} existe y ∈ A {\displaystyle y\in A} para o qual ⟨ x , y ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle x,y\rangle \in R} , existe uma seqüência ⟨ x n ⟩ n ∈ ω {\displaystyle \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }} de elementos de A {\displaystyle A} tal que ⟨ x i , x i + 1 ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R} para todo i ∈ ω {\displaystyle i\in \omega } . Em linguagem simbólica de primeira ordem, temos
∀ A ( ( ∃ R ( R ⊆ A × A ∧ ∀ x ( x ∈ A → ∃ y ( y ∈ A ∧ ⟨ x , y ⟩ ∈ R ) ) ) → ∃ ⟨ x n ⟩ n ∈ ω ( ∀ i ( i ∈ ω → ⟨ x i , x i + 1 ⟩ ∈ R ) ) ) ) {\displaystyle \forall A\left((\exists R\left(R\subseteq A\times A\wedge \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R))\right)\rightarrow \exists \langle x_{n}\rangle _{n\in \omega }(\forall i(i\in \omega \rightarrow \langle x_{i},x_{i+1}\rangle \in R)))\right)}O princípio da escolha dependente é demonstrável em ZF, admitindo o axioma da escolha; com efeito, seja A {\displaystyle A} um conjunto não-vazio e R ⊆ A × A {\displaystyle R\subseteq A\times A} uma relação binária sobre A {\displaystyle A} satisfazendo
∀ x ( x ∈ A → ∃ y ( y ∈ A ∧ ⟨ x , y ⟩ ∈ R ) ) . {\displaystyle \forall x(x\in A\rightarrow \exists y(y\in A\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}Dado x ∈ A {\displaystyle x\in A} , defina r ( x ) = { y ∈ A : ⟨ x , y ⟩ ∈ R } {\displaystyle r(x)=\{y\in A:\langle x,y\rangle \in R\}} ; da hipótese, temos r ( x ) ≠ ∅ {\displaystyle r(x)\neq \emptyset } . Tome a família ⟨ r ( x ) ⟩ x ∈ A {\displaystyle \langle r(x)\rangle _{x\in A}} , admitindo o axioma da escolha, existe uma função
f : A → ⋃ x ∈ A r ( x ) {\displaystyle f:A\to \bigcup _{x\in A}r(x)}satisfazendo f ( x ) ∈ r ( x ) {\displaystyle f(x)\in r(x)} para cada x ∈ A {\displaystyle x\in A} . É evidente, portanto, que ⟨ f n ( x ) ⟩ n ∈ ω {\displaystyle \langle f^{n}(x)\rangle _{n\in \omega }} satisfaz ⟨ f i ( x ) , f i + 1 ( x ) ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle f^{i}(x),f^{i+1}(x)\rangle \in R} para todo i ∈ ω {\displaystyle i\in \omega } e todo x ∈ A {\displaystyle x\in A} .
Porém, DC não implica o axioma da escolha , sendo portanto uma forma mais fraca de AC. É evidente que DC implica o Axioma da Escolha Enumerável, AC ω {\displaystyle _{\omega }} ; com efeito seja ⟨ A n ⟩ n ∈ ω {\displaystyle \langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }} uma família enumerável de conjuntos não-vazios; defina
S n = { s ∈ ( ⋃ k = 0 n A k ) n : π i ( s ) ∈ A i , ∀ i ≤ n } {\displaystyle S_{n}=\{s\in (\bigcup _{k=0}^{n}A_{k})^{n}:\pi _{i}(s)\in A_{i},\forall i\leq n\}}Onde π i {\displaystyle \pi _{i}} é a projeção à i-ésima coordenada. Defina também
S = ⋃ n ∈ ω S n {\displaystyle S=\bigcup _{n\in \omega }S_{n}}Assim, seja R ⊆ S × S {\displaystyle R\subseteq S\times S} tal que, dados s , t ∈ S {\displaystyle s,t\in S} , ⟨ s , t ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle s,t\rangle \in R} se, e somente se, existir n ∈ ω {\displaystyle n\in \omega } para o qual tenhamos s ∈ S n {\displaystyle s\in S_{n}} , t ∈ S n + 1 {\displaystyle t\in S_{n+1}} e π i ( s ) = π i ( t ) {\displaystyle \pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)} para todo i ≤ n {\displaystyle i\leq n} , isto é
∀ s ∀ t ( ( ( s ∈ S ) ∧ ( t ∈ S ) ) → ( ⟨ s , t ⟩ ∈ R ↔ ∃ n ( ( n ∈ ω ) ∧ ( s ∈ S n ) ∧ ( t ∈ S n + 1 ) ∧ ( ∀ i ( i ∈ n ∪ { n } → ( π i ( s ) = π i ( t ) ) ) ) ) ) ) . {\displaystyle \forall s\forall t(((s\in S)\wedge (t\in S))\rightarrow (\langle s,t\rangle \in R\leftrightarrow \exists n((n\in \omega )\wedge (s\in S_{n})\wedge (t\in S_{n+1})\wedge (\forall i(i\in n\cup \{n\}\rightarrow (\pi _{i}(s)=\pi _{i}(t)\,)))))).}É evidente que R {\displaystyle R} satisfaz
∀ x ( x ∈ S → ∃ y ( y ∈ S ∧ ⟨ x , y ⟩ ∈ R ) ) . {\displaystyle \forall x(x\in S\rightarrow \exists y(y\in S\wedge \langle x,y\rangle \in R)).}Portanto, existe uma seqüência ⟨ s n ⟩ n ∈ ω {\displaystyle \langle s_{n}\rangle _{n\in \omega }} tal que
⟨ s i , s i + 1 ⟩ ∈ R {\displaystyle \langle s_{i},s_{i+1}\rangle \in R}para todo natural i {\displaystyle i} . Basta agora definir f : ω → ⋃ A n {\displaystyle f:\omega \to \bigcup A_{n}} por f ( i ) = π i ( s i ) {\displaystyle f(i)=\pi _{i}(s_{i})} . É evidente que f {\displaystyle f} é uma função escolha em ⟨ A n ⟩ n ∈ ω {\displaystyle \langle A_{n}\rangle _{n\in \omega }} .
Outra aplicação importante do princípio da escolha dependente é na demonstração do Lema de Urysohn e do Teorema de Baire . De fato, Charles E. Blair demonstrou em 1977 que o Teorema de Baire é equivalente a DC, isto é
Z F + D C ↔ Z F + ( Teorema de Baire ) . {\displaystyle ZF+DC\leftrightarrow ZF+({\text{Teorema de Baire}}).}