Axioma do par
 | Este artigo não cita fontes confiáveis. Ajude a inserir referências. Conteúdo não verificável pode ser removido.—Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A) (Agosto de 2021) |
O axioma do par diz que, dados dois conjuntos, existe um conjunto no qual esses dois conjuntos são elementos.
Em termos um poucos mais técnicos, sejam A e B conjuntos quaisquer (que podem ser iguais). Então existe um conjunto C tal que A ∈ C {\displaystyle A\in C\,} e B ∈ C {\displaystyle B\in C\,} .
e
B
∈
C
{\displaystyle B\in C\,}
.
Nota: existem formulações alternativas do axioma, que dizem que C não tem outro elemento além de A e B, e que C é único, mas, junto com os axiomas da extensão e da separação, mostra-se que essas formulações são equivalentes.
Em linguagem matemática, o axioma se escreve assim:
∀ x , y ∃ z ( x ∈ z ∧ y ∈ z ) {\displaystyle \forall x,y\ \exists z\ (x\in z\land y\in z)\,}
Usando-se os axiomas da extensão e da separação, chega-se ao seguinte teorema:
∀ x , y ∃ ! z ( x ∈ z ∧ y ∈ z ∧ ∀ w ( w ∈ z → ( w = x ∨ w = y ) ) ) {\displaystyle \forall x,y\ \exists !z\ (x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y)))\,}
Esboço da prova: o axioma da separação é usado para construir, a partir do z que existe, o conjunto
{ w ∈ z : w = x ∨ w = y } {\displaystyle \{w\in z:w=x\lor w=y\}\,}
e o axioma da extensão garante que todos conjuntos z que satisfazem x ∈ z ∧ y ∈ z ∧ ∀ w ( w ∈ z → ( w = x ∨ w = y ) ) {\displaystyle x\in z\land y\in z\land \forall w\ (w\in z\rightarrow (w=x\lor w=y))\,} são iguais.
são iguais.
Como esse conjunto que tem o par de conjuntos como elementos é único, podemos dar um nome para ele, a saber:
{ x , y } {\displaystyle \{x,y\}\,}
Como nada nos axiomas obriga x a ser diferente de y, definimos também:
{ x } = { x , x } {\displaystyle \{x\}=\{x,x\}\,}
Ver também
