Complementar

A área em vermelho é o complementar de A em U, A c = U ∖ A {\displaystyle A^{c}~~~=~~~U\setminus A}

A^{c}~~~=~~~U\setminus A

.
No exemplo, o conjunto A está representado pela circunferência em branco enquanto que o conjunto universo U é representado por todo o retângulo.

Em teoria dos conjuntos, o complementar de um subconjunto A {\displaystyle A\,} $A\,$ se refere a elementos que não estão no conjunto A {\displaystyle A\,} $A\,$ . Normalmente, o complementar se trata de maneira relativa à um conjunto universo U {\displaystyle U\,} $U\,$ , sendo o conjunto A c {\displaystyle A^{c}\,} $A^{c}\,$ o complementar de A {\displaystyle A\,} $A\,$ formado pelos elementos de U {\displaystyle U\,} $U\,$ que não pertencem a A {\displaystyle A\,} $A\,$ . De maneira mais geral, define-se o complementar de A {\displaystyle A\,} $A\,$ em relação a B {\displaystyle B\,} $B\,$ , também chamado de diferença de conjuntos, como o conjunto dos elementos de B {\displaystyle B\,} $B\,$ que não estão em A {\displaystyle A\,} $A\,$ .

Diferença de conjuntos

Definição

Se A e B são conjuntos, então o complemento relativo de A em relação a B , também conhecido como diferença de B e A , é o conjunto de elementos de B que não estão em A.

A diferença de B para A é geralmente denotada B ∖ A {\displaystyle B\setminus A} $B\setminus A$ . Às vezes é escrito B − A {\displaystyle B-A} $B-A$ , mas esta notação é ambígua, já que, em alguns contextos, pode ser interpretada como o conjunto de todos os elementos de b - a, onde b é tomado a partir de B e a a partir de A.

Formalmente:

B ∖ A = { x ∈ B ∣ x ∉ A } . {\displaystyle B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.}

B\setminus A=\{x\in B\mid x\notin A\}.

Exemplos

{ 1 , 2 , 3 } ∖ { 2 , 3 , 4 } = { 1 } {\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}} $\{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}$ .

{ 2 , 3 , 4 } ∖ { 1 , 2 , 3 } = { 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}} $\{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}$ .

Se R {\displaystyle \mathbb {R} } $\mathbb {R}$ é o conjunto de números reais e Q {\displaystyle \mathbb {Q} } $\mathbb {Q}$ é o conjunto dos números racionais, então R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ é o conjunto dos números irracionais.

Propriedades

Sejam A, B e C três conjuntos. As seguintes identidades mostram propriedades importantes da diferença de conjuntos, que podem ser demonstradas com poucos passos usando a própria definição de diferença de conjuntos, junto com as Leis de De Morgan:

C ∖ ( A ∩ B ) = ( C ∖ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)} $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$ ;

C ∖ ( A ∪ B ) = ( C ∖ A ) ∩ ( C ∖ B ) = ( C ∖ A ) ∖ B = ( C ∖ B ) ∖ A {\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A} $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)=(C\setminus A)\setminus B=(C\setminus B)\setminus A$ ;
( A ∪ B ) ∖ C = ( A ∖ C ) ∪ ( B ∖ C ) {\displaystyle (A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)} $(A\cup B)\setminus C=(A\setminus C)\cup (B\setminus C)$ ;
C ∖ ( B ∖ A ) = ( C ∩ A ) ∪ ( C ∖ B ) {\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)} $C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B)$ ;
Com o caso especialmente importante de que C ∖ ( C ∖ A ) = ( C ∩ A ) {\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)} $C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)$ demonstrando que a interseção pode ser expressa usando apenas a operação de diferença de conjuntos;
( B ∖ A ) ∩ C = ( B ∩ C ) ∖ A = B ∩ ( C ∖ A ) {\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)} $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$ ;
( B ∖ A ) ∪ C = ( B ∪ C ) ∖ ( A ∖ C ) {\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)} $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$ ;
A ∖ A = ∅ {\displaystyle A\setminus A=\emptyset } $A\setminus A=\emptyset$ ;
∅ ∖ A = ∅ {\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset } $\emptyset \setminus A=\emptyset$ ;
A ∖ ∅ = A {\displaystyle A\setminus \emptyset =A} $A\setminus \emptyset =A$ .

Em vermelho, a diferença de B (círculo da direita) e A (círculo da esquerda): B ∩ A c = B ∖ A {\displaystyle B\cap A^{c}=B\setminus A}

B\cap A^{c}=B\setminus A

Complementar do conjunto

Definição

Se A é um conjunto, então o complementar de A é o conjunto de elementos que não estão em A. Em outras palavras, se U é o universo que contém todos os conjuntos que estão sendo estudados no problema de modo que não é necessário mencioná-lo quando ele é óbvio e único, então o complementar de A é a diferença entre os conjuntos U e A, sendo representado normalmente como:

A ∁ = U ∖ A {\displaystyle A^{\complement }=U\setminus A}

A^{\complement }=U\setminus A

Formalmente:

A ∁ = { x ∈ U ∣ x ∉ A } . {\displaystyle A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.}

A^{\complement }=\{x\in U\mid x\notin A\}.

Outras notações incluem A c {\displaystyle A^{c}} $A^{c}$ , A ¯ {\displaystyle {\overline {A}}} ${\overline {A}}$ , A ′ {\displaystyle A'} $A'$ , ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} $\complement _{U}A$ , e ∁ A {\displaystyle \complement A} $\complement A$ .

Exemplos

Assuma que o universo é o conjunto dos inteiros. Se A é o conjunto dos números ímpares, então o complementar de A é o conjunto de números pares. Se B é o conjunto de múltiplos de 3, então o complementar de B é o conjunto de números congruentes a 1 ou 2 módulo 3.

Assuma que o universo é um baralho padrão de 52 cartas. Se o conjunto A é o naipe de espadas, então o complementar de A é a união do naipe de copas, paus, e ouros.

Propriedades

Sejam A e B dois conjuntos no universo U. As seguintes identidades mostram propriedades importantes de complementares:

Teoremas de De Morgan:

( A ∪ B ) ∁ = A ∁ ∩ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.} $\left(A\cup B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }.$
( A ∩ B ) ∁ = A ∁ ∪ B ∁ . {\displaystyle \left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.} $\left(A\cap B\right)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }.$

Leis de complementar:

A ∪ A ∁ = U . {\displaystyle A\cup A^{\complement }=U.} $A\cup A^{\complement }=U.$
A ∩ A ∁ = ∅ . {\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing .} $A\cap A^{\complement }=\varnothing .$
∅ ∁ = U . {\displaystyle \varnothing ^{\complement }=U.} $\varnothing ^{\complement }=U.$
U ∁ = ∅ . {\displaystyle U^{\complement }=\varnothing .} $U^{\complement }=\varnothing .$
Se A ⊂ B , então B ∁ ⊂ A ∁ . {\displaystyle {\text{Se }}A\subset B{\text{, então }}B^{\complement }\subset A^{\complement }.} ${\text{Se }}A\subset B{\text{, então }}B^{\complement }\subset A^{\complement }.$

Involução ou lei do duplo complementar:

( A ∁ ) ∁ = A . {\displaystyle \left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.} $\left(A^{\complement }\right)^{\complement }=A.$

Relações entre o complementar e a diferença de conjuntos:

A ∖ B = A ∩ B ∁ . {\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\complement }.} $A\setminus B=A\cap B^{\complement }.$
( A ∖ B ) ∁ = A ∁ ∪ B . {\displaystyle (A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.} $(A\setminus B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B.$
A ∁ ∖ B ∁ = B ∖ A . {\displaystyle A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.} $A^{\complement }\setminus B^{\complement }=B\setminus A.$

As duas primeiras leis acima mostram que se A é não-vazio, subconjunto próprio de U, então {A, Ac} é uma partição de U.

Notação em LaTeX

Na linguagem de diagramação de textos LaTeX, o comando \setminus é normalmente o utilizado para representar o símbolo de diferença de conjuntos, similar ao comando backslash. Existe também um variante \smallsetminus disponível no pacote amssymb.

Complementar em várias linguagens de programação

Algumas linguagens de programação permitem a manipulação de conjuntos como estruturas de dados, usar estes operadores como função para construir a diferença entre dois conjuntos a e b:

.NET Framework a.Except(b); C++ set_difference(a.begin(), a.end(), b.begin(), b.end(), result.begin()); Clojure (clojure.set/difference a b) Common Lisp set-difference, nset-difference F# Set.difference a b

a - b Falcon diff = a - b Haskell difference a b a \\ b Java diff = a.clone(); diff.removeAll(b); Julia setdiff Mathematica Complement MATLAB setdiff OCaml Set.S.diff Octave setdiff PARI/GP setminus Pascal SetDifference := a - b; Perl 5 # for perl version >= 5.10 @a = grep {not $_ ~~ @b} @a; Perl 6 $A ∖ $B $A (-) $B # texas version PHP array_diff($a, $b); Prolog a(X),\+ b(X). Python diff = a.difference(b) diff = a - b R setdiff Racket (set-subtract a b) Ruby diff = a - b Scala a.diff(b)

a -- b Smalltalk (Pharo) a difference: b SQL SELECT * FROM A EXCEPT SELECT * FROM B Unix shell comm -23 a b

Ver também

Referências

↑ a b c Halmos 1960, p. 17.
↑ Devlin 1979, p. 6.
↑ Bourbaki 1970, p. E II.6.
↑ The Comprehensive LaTeX Symbol List
↑ clojure.set API reference
↑ Common Lisp HyperSpec, Function set-difference, nset-difference. Accessed on September 8, 2009.
↑ Set.difference<'T> Function (F#). Accessed on July 12, 2015.
↑ Set.( - )<'T> Method (F#). Accessed on July 12, 2015.
↑ Array subtraction, data structures. Accessed on July 28, 2014.
↑ «Data.Set (Haskell)». Consultado em 29 de agosto de 2016. Arquivado do original em 28 de maio de 2009
↑ Set (Java 2 Platform SE 5.0). JavaTM 2 Platform Standard Edition 5.0 API Specification, updated in 2004. Accessed on February 13, 2008.
↑ Arquivado em 15 de outubro de 2014, no Wayback Machine.. The Standard Library--Julia Language documentation. Accessed on September 24, 2014
↑ Complement. Mathematica Documentation Center for version 6.0, updated in 2008. Accessed on March 7, 2008.
↑ Setdiff. MATLAB Function Reference for version 7.6, updated in 2008. Accessed on May 19, 2008.
↑ Set.S (OCaml).
↑ . GNU Octave Reference Manual
↑ «PARI/GP User's Manual» (PDF). Consultado em 29 de agosto de 2016. Arquivado do original (PDF) em 11 de setembro de 2015
↑ PHP: array_diff, PHP Manual
↑ a b . Python v2.7.3 documentation. Accessed on January 17, 2013.
↑ R Reference manual p. 410.
↑ . The Racket Reference. Accessed on May 19, 2015.
↑ Class: Array Ruby Documentation
↑ a b scala.collection.Set. Scala Standard Library 2.11.7, Accessed on July 12, 2015.
↑ comm(1), Unix Seventh Edition Manual, 1979.

Ligações externas

Weisstein, Eric W. «Complement» (em inglês). MathWorld
Weisstein, Eric W. «Complement Set» (em inglês). MathWorld

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
Conceitos	Cardinalidade Número cardinal Classe Universo construível Elemento Família Função bijectiva Número ordinal Indução transfinita Diagrama de Venn
Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
Pessoas	Abraham Fraenkel Bertrand Russell Ernst Zermelo Georg Cantor John von Neumann Kurt Gödel Lotfali Askar-Zadeh Paul Bernays Paul Cohen Richard Dedekind Thomas Jech Willard Quine