Função injectiva

Na matemática, uma função injectiva (ou injetora) é uma função que preserva a distinção: nunca aponta elementos distintos de seu domínio para o mesmo elemento de seu contradomínio. Em outras palavras, cada elemento do contradomínio da função é a imagem de no máximo um elemento de seu domínio. Ou seja, Uma função diz-se injectiva (ou injetora) se e somente se quaisquer que sejam x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ e x 2 {\displaystyle x_{2}} $x_{2}$ (pertencentes ao domínio da função), x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ é diferente de x 2 {\displaystyle x_{2}} $x_{2}$ implica que f( x 1 {\displaystyle x_{1}} $x_{1}$ ) é diferente de f( x 2 {\displaystyle x_{2}} $x_{2}$ ): x 1 ≠ x 2 ⇒ f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) . {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).} $x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2}).$

Uma função injetiva, mas não sobrejetiva (injeção, mas é não uma bijeção)
Uma função injetiva e sobrejetiva (bijeção)
Uma função sobrejetiva, mas não injetiva (sobrejeção, não é uma bijeção)
Uma função nem injetiva, nem sobrejetiva (também não é uma bijeção)

Graficamente, uma função f {\displaystyle f} $f$ é injectiva se e somente se nenhuma recta horizontal intersecta o seu gráfico em mais do que um ponto.

É importante notar que, neste tipo de função, o contradomínio tem uma cardinalidade sempre maior ou igual à do domínio. Além disso, pode haver mais elementos no contra-domínio que no conjunto imagem da função.

Ocasionalmente, uma função injetiva de X {\displaystyle X} $X$ a Y {\displaystyle Y} $Y$ é denotada f : X ↣ Y , {\displaystyle f:X\rightarrowtail Y,} $f:X\rightarrowtail Y,$ usando uma seta com uma "cauda separada" (U+21A3 ↣ RIGHTWARDS ARROW WITH TAIL). O conjunto de funções injetivas de X {\displaystyle X} $X$ a Y {\displaystyle Y} $Y$ pode ser denominado Y X _ {\displaystyle Y^{\underline {X}}} $Y^{\underline {X}}$ usando uma notação derivada daquela usada para decrescimento de potências fatoriais, uma vez que se X {\displaystyle X} $X$ e Y {\displaystyle Y} $Y$ são conjuntos finitos com respectivamente m {\displaystyle m} $m$ e n {\displaystyle n} $n$ elementos, o número de injeções de X {\displaystyle X} $X$ a Y {\displaystyle Y} $Y$ é n m _ . {\displaystyle n^{\underline {m}}.} $n^{\underline {m}}.$

Um monomorfismo é uma generalização de uma função injetiva na teoria das categorias.

Definição

Seja f {\displaystyle f} $f$ uma função cujo domínio é um conjunto X . {\displaystyle X.} $X.$ Diz-se que a função f {\displaystyle f} $f$ é injetiva desde que para todos a {\displaystyle a} $a$ e b {\displaystyle b} $b$ em X , {\displaystyle X,} $X,$ sempre que f ( a ) = f ( b ) , {\displaystyle f(a)=f(b),} $f(a)=f(b),$ então a = b ; {\displaystyle a=b;} $a=b;$ isto é, f ( a ) = f ( b ) {\displaystyle f(a)=f(b)} $f(a)=f(b)$ implica a = b . {\displaystyle a=b.} $a=b.$ Equivalente, se a ≠ b , {\displaystyle a\neq b,} $a\neq b,$ então f ( a ) ≠ f ( b ) . {\displaystyle f(a)\neq f(b).} $f(a)\neq f(b).$

Simbolicamente,

∀ a , b ∈ X , f ( a ) = f ( b ) ⇒ a = b {\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b} $\forall a,b\in X,\;\;f(a)=f(b)\Rightarrow a=b$

que é logicamente equivalente à contrapositiva,

∀ a , b ∈ X , a ≠ b ⇒ f ( a ) ≠ f ( b ) {\displaystyle \forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)} $\forall a,b\in X,\;\;a\neq b\Rightarrow f(a)\neq f(b)$

Exemplos

A função f : R → R , {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,} $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,$ definida por f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ não é injectiva, pois existe pelo menos um a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } $a\in \mathbb {R}$ tal que f ( a ) = f ( − a ) , {\displaystyle f(a)=f(-a),} $f(a)=f(-a),$ por exemplo, para a = 2. {\displaystyle a=2.} $a=2.$ Isto é, o domínio da função admite que dois objectos distintos tenham a mesma imagem. Noutras palavras, existem dois valores diferentes que possam substituir a variável x {\displaystyle x} $x$ para que o valor da função f ( x ) {\displaystyle f(x)} $f(x)$ seja igual a 4. Esses valores são 2 e -2.

A função f :

A inversa à esquerda g {\displaystyle g} $g$ não é necessariamente um inverso de f {\displaystyle f} $f$ porque a composição na outra ordem, f ∘ g , {\displaystyle f\circ g,} $f\circ g,$ pode diferir da identidade em Y . {\displaystyle Y.} $Y.$ Em outras palavras, uma função injetora pode ser "invertida" por uma inversa à esquerda, mas é não necessariamente invertível, o que requer que a função seja bijetiva.

Injeções podem tornar-se invertíveis

Na verdade, para transformar uma função injetora f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ em uma função bijetiva (portanto, invertível), basta substituir seu contradomínio Y {\displaystyle Y} $Y$ pelo seu intervalo real J = f ( X ) . {\displaystyle J=f(X).} $J=f(X).$ Isto é, vamos g : X → J {\displaystyle g:X\rightarrow J} $g:X\rightarrow J$ tal que g ( x ) = f ( x ) {\displaystyle g(x)=f(x)} $g(x)=f(x)$ para todo x {\displaystyle x} $x$ em X ; {\displaystyle X;} $X;$ então g é bijetiva. De fato, f {\displaystyle f} $f$ pode ser fatorada como i n c l J , Y ∘ g , {\displaystyle incl_{J,Y}\circ g,} $incl_{J,Y}\circ g,$ onde i n c l J , Y {\displaystyle incl_{J,Y}} $incl_{J,Y}$ é a função de inclusão de J {\displaystyle J} $J$ em Y . {\displaystyle Y.} $Y.$

Mais geralmente, as funções parciais injetivas são chamadas de bijeções parciais.

Outras propriedades

Se f {\displaystyle f} $f$ e g {\displaystyle g} $g$ são ambas injetivas, então f ∘ g {\displaystyle f\circ g} $f\circ g$ é injetiva.

A composição de duas funções injetivas é injetiva

Se g ∘ f {\displaystyle g\circ f} $g\circ f$ é injetiva, então f {\displaystyle f} $f$ é injetiva (mas g {\displaystyle g} $g$ não precisa ser).
f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ é injetiva se, e somente se, dadas quaisquer funções g , h : W → X {\displaystyle g,h:W\rightarrow X} $g,h:W\rightarrow X$ sempre que f ∘ g = f ∘ h , {\displaystyle f\circ g=f\circ h,} $f\circ g=f\circ h,$ então g = h . {\displaystyle g=h.} $g=h.$ Em outras palavras, funções injetivas são precisamente os monomorfismos na categoria Conjunto de conjuntos.
Se f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ é injetiva e A {\displaystyle A} $A$ é um subconjunto de X , {\displaystyle X,} $X,$ então f − 1 ( f ( A ) ) = A . {\displaystyle f^{-1}(f(A))=A.} $f^{-1}(f(A))=A.$ Assim, A {\displaystyle A} $A$ pode ser recuperado de sua imagem f ( A ) . {\displaystyle f(A).} $f(A).$
Se f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ é injetiva e A {\displaystyle A} $A$ e B {\displaystyle B} $B$ são ambos subconjuntos de X , {\displaystyle X,} $X,$ então f ( A ∩ B ) = f ( A ) ∩ f ( B ) . {\displaystyle f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).} $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).$
Cada função h : W → Y {\displaystyle h:W\rightarrow Y} $h:W\rightarrow Y$ pode ser decomposta como h = f ∘ g {\displaystyle h=f\circ g} $h=f\circ g$ para uma injeção adequada f {\displaystyle f} $f$ e uma sobrejeção g . {\displaystyle g.} $g.$ Esta decomposição é única até o isomorfismo, e f {\displaystyle f} $f$ pode ser considerada como a função de inclusão do intervalo h ( W ) {\displaystyle h(W)} $h(W)$ de h {\displaystyle h} $h$ como um subconjunto do contradomínio Y {\displaystyle Y} $Y$ de h . {\displaystyle h.} $h.$
Se f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ é uma função injetiva, então Y {\displaystyle Y} $Y$ tem pelo menos tantos elementos quanto X , {\displaystyle X,} $X,$ no sentido de números cardinais. Em particular, se, além disso, houver uma injeção de Y < {\displaystyle Y\!<} $Y\!<$ para X , {\displaystyle X,} $X,$ então X {\displaystyle X} $X$ e Y {\displaystyle Y} $Y$ terão o mesmo número cardinal. (Isso é conhecido como o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder.)
Se tanto X {\displaystyle X} $X$ quanto Y {\displaystyle Y} $Y$ são finitos com o mesmo número de elementos, então f : X → Y {\displaystyle f:X\rightarrow Y} $f:X\rightarrow Y$ é injetiva se e somente se f {\displaystyle f} $f$ é sobrejetiva (nesse caso f {\displaystyle f} $f$ é bijetiva).
Uma função injetiva que é um homomorfismo entre duas estruturas algébricas é uma incorporação.
Ao contrário da sobrejetividade, que é uma relação entre o gráfico de uma função e seu contradomínio, a injetividade é uma propriedade do gráfico da função sozinha; isto é, se uma função f {\displaystyle f} $f$ é injetiva pode ser decidida considerando apenas o gráfico (e não o contradomínio) de f . {\displaystyle f.} $f.$

Provando que as funções são injetivas

Uma prova de que uma função f {\displaystyle f} $f$ é injetiva depende de como a função é apresentada e quais propriedades ela contém. Para funções que são dadas por alguma fórmula, há uma ideia básica. Usamos a contrapositiva da definição de injetividade, ou seja, se f ( x ) = f ( y ) , {\displaystyle f(x)=f(y),} $f(x)=f(y),$ então x = y . {\displaystyle x=y.} $x=y.$

Exemplo 1

f = 2 x + 3 {\displaystyle f=2x+3} $f=2x+3$

Prova: Seja f : X → Y . {\displaystyle f:X\rightarrow Y.} $f:X\rightarrow Y.$ Suponha que f ( x ) = f ( y ) . {\displaystyle f(x)=f(y).} $f(x)=f(y).$ Então, 2 x + 3 = 2 y + 3 ⇒ 2 x = 2 y ⇒ x = y . {\displaystyle 2x+3=2y+3\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y.} $2x+3=2y+3\Rightarrow 2x=2y\Rightarrow x=y.$ Portanto, segue da definição que f {\displaystyle f} $f$ é injetiva.

Exemplo 2

h ( x ) = 2 x + 5 1 + x 2 {\displaystyle h(x)={\frac {2x+5}{1+x^{2}}}} $h(x)={\frac {2x+5}{1+x^{2}}}$ h ( x ) {\displaystyle h(x)} $h(x)$ não é injetiva, já que para h ( 0 ) {\displaystyle h(0)} $h(0)$ e h ( 2 5 ) {\displaystyle h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}} $h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}$ temos h ( 0 ) = h ( 2 5 ) = 5 {\displaystyle h(0)=h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}=5} $h(0)=h{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}=5$ , ou seja, h ( x ) = h ( y ) {\displaystyle h(x)=h(y)} $h(x)=h(y)$ com x ≠ y {\displaystyle x\neq y} $x\neq y$ .

Existem vários outros métodos para provar que uma função é injetiva. Por exemplo, no cálculo se f {\displaystyle f} $f$ é uma função diferenciável definida em algum intervalo, então é suficiente mostrar que a derivada é sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Na álgebra linear, se f {\displaystyle f} $f$ é uma transformação linear, é suficiente mostrar que o núcleo de f {\displaystyle f} $f$ contém apenas o vetor zero. Se f {\displaystyle f} $f$ é uma função com domínio finito, basta olhar a lista de imagens de cada elemento de domínio e verificar se nenhuma imagem ocorre duas vezes na lista.

Ver também

Wikilivros

Notas

↑ «Unicode» (PDF). Consultado em 11 de maio de 2013
↑ Ao contrário da afirmação correspondente de que toda função sobrejetiva tem um inverso à direita, isso não requer o axioma da escolha, já que a existência de a é implicada pela não-vacuidade do domínio. No entanto, esta afirmação pode falhar em matemática menos convencional, como a matemática construtiva. Na matemática construtiva, a inclusão {0,1} → 'R' do conjunto de dois elementos nos reais não pode ter inversão à esquerda, pois violaria indecomposição, dando uma retração da reta real para o conjunto {0,1}.
↑ Williams, Peter. «Proving Functions One-to-One». Cópia arquivada em 4 de junho de 2017

Referências

Bartle, Robert G. (1976), The Elements of Real Analysis, ISBN 978-0-471-05464-1 2nd ed. , New York: John Wiley & Sons , p. 17 ff.
Halmos, Paul R. (1974), Naive Set Theory, ISBN 978-0-387-90092-6, New York: Springer , p. 38 ff.

Ligações externas

v d e Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade

Controle de autoridade	: Q182003 EBID: ID